Kurwy Róży: Dlaczego r = cos(2θ) Rysuje 4 Płaty, Nie 2

Krzywa zdefiniowana w układzie współrzędnych biegunowych

Większość krzywych na tej stronie jest definiowana jako y=f(x) lub przez parametryczną parę (x(t), y(t)). Krzywa róży naturalnie żyje w układzie współrzędnych biegunowych: odległość r od początku układu dla każdego kąta θ, zgodnie z prostym prawem r = a * cos(kθ) (lub wariacją sinusową, która jest tą samą krzywą obróconą o 90°/k). Gdy θ przesuwa się od 0 do 2π, promień oscyluje między +a i -a, rysując kwiat z pętli zwanych płatami – kształt ten znany również jako krzywa rhodonea, pochodząca od greckiego słowa 'rosa'.

Dlaczego ujemne r ma znaczenie i zasada parzystości

Gdy r staje się ujemnym, punkt jest zaznaczany w przeciwnym kierunku niż θ – czyli pod kątem θ+π, a nie θ. Ta konwencja jest kluczem do najbardziej mylącej właściwości krzywej: liczba widocznych płatków zależy od tego, czy k jest liczbą nieparzystą i parzystą, a nie tylko od wartości k.

k - nieparzysta liczba całkowita → k płatków (pętli z ujemnym r naśladują istniejące płatki) k - liczba parzysta → 2k płatków (pętle z ujemnym r rysują nowe płatki) k = p/q, wyrażenie w najprostszym zapisie doliczowym → p płatków, jeśli p·q jest nieparzyste, w przeciwnym razie 2p płatków Dla nieparzystego k, obracanie θ o dodatkowy kąt połowy okręgu (π do 2π) generuje wartości ujemnego r, które trafiają dokładnie na szczyty już narysowanych płatków w pierwszej połowie okręgu, więc widoczna jest tylko liczba k płatków, nawet jeśli ślad przechodzi przez 2π kąta. Dla parzystego k, wartości ujemnego r trafiają do naprawdę nowych miejsc, podwajając liczbę płatków do 2k. Ta asymetria zaskakuje niemal każdego, kto po raz pierwszy widzi to: r=cos(2θ) rysuje czteropłatkowy róż, a nie dwupłatkowy.

k odd integer   →  k petals (negative-r loops retrace existing petals)
k even integer  →  2k petals (negative-r loops draw new petals)
k = p/q rational, lowest terms → p petals if p·q odd, else 2p petals

Uzasadnienie k: wielki róż to, które obraca się wiele razy, aby zamknąć

Jeśli k nie jest liczbą całkowitą, ale ułamkiem p/q w najmniejszym wyrazie, krzywa przestaje być zamknięta po jednym obrocie 2π - musi przejść przez q·2π (jeśli p·q jest nieparzyste) lub q·π (jeśli p·q jest parzyste), zanim wróci dokładnie do punktu początkowego i przestanie nakładać się z nowymi obszarami. Czasami nazywane są Wielkimi Różami, w nawiązaniu do Guido Grandi, który badał je na początku XVIII wieku i po raz pierwszy zauważył zasadę parzystości liczenia płatków. Wraz ze wzrostem q krzywa potrzebuje wielu więcej obrotów, aby zamknąć się, a dla k niepohamowanego k nigdy nie zamyka się - ślad wirowy trwa w nieskończoność, wypełniając pierścień między r=0 a r=a coraz bardziej gęstym, niepowtarzalnym wzorem, podobnie jak irracjonalne hipocykloidy o stosunku proporcji na tym samym miejscu na tej stronie.

Różki kształtu w których roza się kurczy znajdują w szerszej rodzinie krzywych wyrażonych współrzędnymi polarnymi r=f(θ). Ustawienie k=1 z wariacją sinus daje prosty okrąg przechodzący przez początek; pozwalając współczynnikowi inaczej zależeć od θ zamiast jedynie go skalować, otrzymujemy spirale (r=aθ, spiralę archimedińską) zamiast płatków. Różka kształtu jest charakterystyczna dla okresowości cos(kθ), która zmusza krzywą do powrotu przez początek za każdym razem, gdy kθ przecina nieparzyste wielokrotność π/2 - każde takie przecięcie stanowi granicę płatka, punkt, w którym krzywa styka się z biegunem i odwraca kierunek.

Rose curves are a special case of the broader class of curves expressible as r=f(θ) in polar coordinates. Setting k=1 with a sine variant gives a plain circle passing through the origin; letting the coefficient depend differently on θ instead of just scaling it gives spirals (r=aθ, the Archimedean spiral) instead of petals. What makes the rose distinctive is the periodicity of cos(kθ) forcing the curve back through the origin every time kθ crosses an odd multiple of π/2 - each such crossing is a petal boundary, the point where the curve touches the pole and reverses direction.

Konwersja na współrzędne kartezjańskie i rysowanie

Aby zrenderować krzywe na płaszczyźnie, należy przekonwertować każdy próbkę podług współrzędnych kartezjańskich: x = r * cos(θ), y = r * sin(θ), gdzie r jest obliczane od nowa w oparciu o a * cos(kθ) na każdym kroku. Demo pobiera θ w małych incrementach do rzeczywistego kąta zamknięcia krzywej (obliczany z licznika i mianera k za pomocą reguły parzystości, nie tylko założonego jako 2π), dzięki czemu krzywe o racjonalnych niecałkowitych k rysowane są poprawnie zamiast być obcięte w połowie płatków lub nieskończenie nadrysowane.

for (let t = 0; t <= thetaMax; t += dt) {
  const r = a * Math.cos(k * t);
  const x = cx + r * Math.cos(t);
  const y = cy + r * Math.sin(t);
  drawLineTo(x, y);
}

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Rose Curve i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.