Superelipsa: Jeden wykładnik od astroidy do skwircle'a i prostokąta

Jeden wykładnik, wiele kształtów

Równanie elipsy zwyczajnej ((x/a)² + (y/b)² = 1) jest przypadkiem szczególnym rodziny równań o wiekszej ogólności, odkrytej przez Gabriele Lame'a w 1818 roku: |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1, gdzie n może być dowolnym dodatnim liczbą rzeczywistą. Lame badał to jedynie jako kwestię matematyczną; po dwóch stoletiach denckij naukowiec, inwentor i poeta Piet Hein ożywił je jako narzędzie praktyczne, używając do kształtowania ronda w placu Sergels Torg w Sztokholmie w latach 60. XX wieku, gdzie elipsa prosta wydawała się zbyt skąpa i prostokąt za bardzo ostry.

Co się zmienia przy przebiegu n od 0 do nieskończoności

n < 1 → wklęsła, gwiazdowaty krzywe (astroida dla n=2/3) n = 1 → diamant (obraca się kwadrat, proste krawędzie) n = 2 → zwykła elipsa (kula, jeśli a=b) n = 4 → superelipsa Piet Heina - okrągła-elipsa zwana "skwirclem" n → ∞ → ograniczający prostokąt [-a,a]×[-b,b] Dla n=2/3, jeśli a=b, krzywa jest dokładnie astroidą - czworokątem z czterema wierzchołkami, który pojawia się jako szczególny przypadek hiperboku R=4r na innych stronach tej strony internetowej. To potwierdza, że te dwie niezależnie motivowane rodziny krzywych pokrywają się dla tego jednego wykładnika. Gdy n wzrosie ponad 2, kąty elipsy zaczną się rozszerzać i przypinać, a krzywa stopniowo zbliży się do ograniczającego prostokąta bez nigdy go nie docierając - granica jest prawdziwym prostokątem tylko w sensie n→∞.

n < 1   →  concave, star-like curve (astroid at n=2/3)
n = 1   →  diamond (rotated square, straight edges)
n = 2   →  ordinary ellipse (circle if a=b)
n = 4   →  Piet Hein's "squircle" - rounded-square superellipse
n → ∞  →  the bounding rectangle [-a,a]×[-b,b]

Skwircle Heina: dlaczego n=4

Hein specjalnie zasięgnął n=4 (z a=b, dając skwircle), ponieważ widocznie jest on bardziej okrągły niż przekształcone prostokąty, ale mniej okrągły niż koło - prawdziwa pośrednia figura, a nie taka, która wygląda jak kompromis. Zastosował ją ponad parkominkiem: do mebli, naczyniarskiego sprzętu i zagadki o nazwie Superegg, 3D tworzywej objętości opartej na tym samym wykładniku. Skwircle pojawił się później w projektowaniu interfejsów cyfrowych, gdzie ikony aplikacji na niektórych platformach mobilnych są rysowane jako superelipsy zamiast prawdziwych przekształconych prostokątów, ponieważ przejście od płaskiej krawędzi do krzywej czyta się jako mniej agresywne dla oka.

Parametryzacja krzywej do renderowania

Równanie implikowane jest trudne do próbkowania bezpośrednio, ponieważ rozwiązywanie dla y podanego x wymaga użycia potęgi ułamkowej i wyboru znaku na każdym punkcie. Forma parametryczna unika tego problemu, używając zapisanych ze znakiem potęg sinusu i cosinusu (oznaczonego tutaj notacją cos^[n] oznaczającą sign(cos t)·|cos t|ⁿ, zachowując znak, który standardowa potęga by straciła):

x(t) = a · sign(cos t) · |cos t|^(2/n) y(t) = b · sign(sin t) · |sin t|^(2/n), t ∈ [0, 2π) Każdy punkt wygenerowany w ten sposób spełnia równanie implikowane dokładnie i identycznie dla każdego t. Dla dowolnej liczby próbek (kilka setek) rozłożonych równomiernie na t daje płynną linię brzegową bez potrzeby wyszukiwania pierwiastków numerycznych - znacznie tańszy podejście niż skanowanie x i rozwiązywanie dla y w każdym kolumnie.

x(t) = a · sign(cos t) · |cos t|^(2/n)
y(t) = b · sign(sin t) · |sin t|^(2/n),   t ∈ [0, 2π)

Porównanie z okręgiem i zaokrąglonym prostokątem

Aby jasno wskazać kształt, demo pokrywa superelipsę dwiema referencyjnymi krzywymi o takim samym ramie: prawdziwym okręgiem (equivalent to n=2) oraz konwencjonalnym zaokrąglonym prostokątem zbudowanym z czterech półokręgu, łączących proste krawędzie. Superelipsa dla n=4 widocznie przewija się między nimi - jej krzywizna zmienia się ciągle w całym okresie, w przeciwieństwie do zaokrąglonego prostokąta, którego krzywizna skoczkowo przejmuje stałą wartość niezerową (na półokręgu) z zerowej (na prostej krawędzi) na każdym z osiemnastu punktów styczności. Ta ciągła krzywizna jest matematycznym powodem, dla którego skwircle wygląda bardziej organicznie niż zaokrąglony prostokąt, mimo że zajmuje prawie taki sam obszar.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Superellipse — Lamé Curves & the Squircle i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.