Tunelowanie kwantowe: Jak cząsteczki przekraczają ściany |…

Równanie Schrödingera wewnątrz barierki

Zewnętrzny zasieg barierki (V = 0), równanie Schrödingera niezależne od czasu daje oscylującą falę płaską ψ(x) = Ae^(ikx) + Be^(−ikx). Wewnątrz barierki o wysokości V₀ > E, znak się zmienia i rozwiązania stają się wykładnicze rzeczywiste zamiast fal — falę evanescentową rosnącą do zera w nieskończenie cienkiej barierce, ale dla barierki o skończonym szerokości L, wychodzi na drugiej stronie z zmniejszonym, ale niezerowym amplitudowym:

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ ← stała rozkładu wewnątrz barierki T ≈ e^(−2κL) ← przepustowość dla κL ≫ 1 T_exact = [1 + (k²+κ²)²sinh²(κL)/(4k²κ²)]⁻¹ Trzy rzeczy ustawiają T: szerokość barierki L (podwójenie jej kwadratuje T, zredukowanie do zera), deficyt energetyczny V₀−E (ciemniejsza pod barierką oznacza mniejszą T) i masa cząsteczki m (cięższe cząsteczki tunelują się wykładniczo mniej łatwo przy tym samym poziomie energii). Względniająca relacja Heisenberga Δx·Δp ≥ ħ/2 daje intuicyjne obraz: ograniczenie cząsteczek do cienkiego zasiegu barierki wymusza rozkład pędów wystarczająco duży, aby mogły „ pożyczyc” potrzebną energię na krótki czas Δt ≤ ħ/(2ΔE) — choć dokładna historia jest cała w równaniu Schrödingera.

κ = √(2m(V₀−E)) / ħ           ← decay constant inside the barrier
T ≈ e^(−2κL)                  ← transmission for κL ≫ 1
T_exact = [1 + (k²+κ²)²sinh²(κL)/(4k²κ²)]⁻¹

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Od tunnelowych diod do fuzji gwiazd

Leo Esaki w 1957 roku wykorzystał tunelowanie elektronów przez cienką granicę p-n do przeprowadzenia diody, która przełączona jest w pikosekundy. Mikroskop tunnelowy (Binnig & Rohrer, 1981) pomiar prądu tunelowanego I ∝ e^(−2κd), który jest taki czuły, że zmiana powierzchni z 0,01 nm wpływa na niego o około 10%, co pozwala rozwiązać pojedyncze atomy. Pamiętki flash zapisują i usuwają bity poprzez tunelowanie Foole'a-Nordheima przez cienką warstwę tlenku. Na skalę jądrową, traktacja WKB Gamowa z 1928 roku alpha-decay przez barierę Coulomba wyjaśnia dlaczego polon-212 rozkłada się w mikrosekundach, a uranium-238 w 4,5 miliarda lat — różnica energii około 4 MeV przekształca się w 24 rzędy wielkości różnicy półżywotności.

Najbardziej zaskakującym jest to, że jądro Słońca znajduje się na energia termiczna tylko ~1,3 keV, przeciwko barierze Coulomba o energii ~550 keV między protonami — fuzja powinna być klasycznie niemożliwa. Tunelowanie kwantowe przez ogon barier, wagi z rozkładu Boltzmana do "wzniesienia Gamowa", to właśnie to, co rzeczywiście napędza fuzję gwiazdową i, na koniec, życie na Ziemi.

Często zadawane pytania

Dlaczego cząstka może przepłynąć przez barierę, której nie ma wystarczającej energii do podniesienia się nad nią?

Cząstki kwantowe są opisane funkcją falową, a nie jako lokalne piłki bilardowe. Wewnątrz barier funkcja fala zanika wykładniczo zamiast oscylować, ale dla barier o skończonej szerokości nie osiąga ona zera przed drugą stroną, więc wychodzi poza nią falowy nurt o zmniejszonym amplitudzie — i niezerowej prawdopodobieństwie.

Co mówi współczynnik przepływu T = e^(−2κL)?

T to ujemna część przepływającego prawdopodobieństwa, które przechodzi przez barierę, gdzie κ = √(2m(V₀−E))/ħ. Zanika wykładniczo zwiększającą się szerokością barier L, deficytem energii (V₀−E) i masą cząstki m — dlatego tunelizacja jest niewyliczalna dla obiektów codziennych, ale dominuje dla elektronów.

Jak tunelizacja pozwala Słońcu świecić?

Temperatura jądra Słońca odpowiada energii termicznej daleko poniżej około 550 keV Coulomb barrier między dwiema protonami, więc fizyka klasyczna zabrania tu fuzji. Tunelizacja kwantowa pozwala protonom przechodzić przez ogon barier przy niskich energii pod-barierowej za pomocą czynnika Gamova, co umożliwia fuzję gwiazdową — i życie na Ziemi.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Quantum Tunnelling Wave Packet Simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Quantum Tunnelling Wave Packet Simulation