Oscylator harmoniczny kwantowy: poziomy energii i funkcje welle

Wartości własne energii i energia punktu zera

Rozwiązując równanie Schrödingera dla potencjału parabolicznego V(x) = ½mω²x², wymagane jest, aby funkcja welle zerowała się w nieskończoności, co przynucza energię do przyjmowania tylko wartości dyskretnych:

Eₙ = ħω(n + ½), n = 0, 1, 2, 3, … E₀ = ½ħω ← energia punktu zera, niezerowa nawet przy T = 0 ΔE = ħω ← równy odstęp między każdą kolejną poziomem Nie tak jak w klasycznej sprężynie, która może być nieruchoma i mieć zero energii, kwantowy oscylator nie może: nierówność Heisenberga Δx·Δp ≥ ħ/2 zabrania pewności jednocześnie w pozycji i chwalebieniu, więc ograniczanie cząstki wymusza rozpraszanie chwalebnictwa ruchu i zatem niezerową energię kinetyczną. Ta energia punktu zera jest bezpośrednio mierzalna — wydziała na efekt Casimira między niewyładowanymi płytami oraz utrzymuje hel liquid w temperaturze atmosferycznej do zera bezwzględnego.

Eₙ = ħω(n + ½),   n = 0, 1, 2, 3, …
E₀ = ½ħω           ← zero-point energy, non-zero even at T = 0
ΔE = ħω             ← equal spacing between every adjacent level

Polinomie Hermita, operatory stopni i tunelowanie

Pełne funkcje welle ψₙ(x) = Nₙ·Hₙ(ξ)·e^(−ξ²/2) połączone są z otoczeniem gaussowskim i polinomiami Hermita Hₙ(ξ), każde z dokładnie n węzłów i alternującą parcią nieparzystą/parzystą. Elegantne algebraiczne rozwiązanie unika całkowania różniczkowego: operatory podnoszenia a⁺ i opuszczania a⁻ spełniają [a⁻,a⁺] = 1 i przesuń liczbę kwantową o dokładnie jedno w górę lub w dół, czyniąc Hamiltonian H = ħω(a⁺a⁻ + ½) — dokładnie takie same operatory tworzenia/annihilacji używane dla fotonów w elektrodynamice kwantowej.

Zagadnienie klasyczne: gęstość prawdopodobieństwa jest niezerowa poza punktami obracania się klasycznego x = ±xₙ, gdzie cząstka klasyczna miałaby ujemną energię kinetyczną i od razu odwracałaby kierunek. Dla stanu podstawowego około 15,7% gęstości prawdopodobieństwa znajduje się poza tą klasycznym zakazaną obszernością. W granicy dużych n, zasada odpowiedności Bohra przejmuje kontrolę: szybko oscylująca gęstość kwantowa średnio wygładza się do pasjonowania rozkładem prawdopodobieństwa klasycznego, który osiąga maksimum w punktach obracania się, gdzie oscylator klasyczny porusza się naj wolniej.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Quantum Harmonic Oscillator — Wavefunctions & Energy Levels i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.