Zjeżdżalnie z placu zabaw: Kształt jest ważniejszy niż myślisz

Grawitacja wykonuje pociągnięcie, a tarcie przeciwdziała.

Zjazd z huśtawki to jedno z najbardziej czystych przykładów fizyki ślizgu. Grawitacja ciągnie pionowo z siłą mg, ale tylko jej składowa równoległa do powierzchni zjazdu przyspiesza podróżnika – reszta naciska podróżnego na zjazd i jest odwracana przez powierzchnię (siła normalna). Na zjeździe nachylonym pod kątem θ od poziomu siła przyspędzana wynosi czysty rozkład trójkątny:

F_poziomo_zjazdu = mg sin(θ) // to przyspiesza Cię F_wertykalnie_zjazdu = mg cos(θ) // to jest odwracane przez siłę normalną F_tarcia = μ * F_wertykalnie_zjazdu = μmgcos(θ) // przeciwdziała ruchowi, μ = współczynnik tarcia przyspieszenie_rzutowe = g (sin θ - μ cos θ) live demo · piłka jadąca po prostej, łukowej i falistej huśtawce● LIVE Masa całkowicie znika z tej równości – cięższy podróżnik i lżejszy podróżnik zwolnione z tej samej wysokości, tego samego zjazdu, przy tym samym tarciu, osiągną dno w zasadzie tą samą prędkość, co jest tym samym powodem, dla którego kulę bowlingową i piórko spadają tak samo szybko próżni, tym razem zamiast oporu powietrza współczynnik tarcia i nachylenia.

F_along_slide  = m g sin(θ)     // this actually speeds you up
F_into_slide   = m g cos(θ)     // this is cancelled by the normal force
F_friction     = μ * F_into_slide  = μ m g cos(θ)   // opposes motion, μ = friction coefficient
net acceleration = g (sin θ - μ cos θ)

Dlaczego precyzyjny kształt zjazdu w zasadzie nie ma znaczenia dla prędkości (ale ogromnie wpływa na wrażenia),

Zignorujmy na chwilę tarcie. Zgodnie z całkowitą zasadą zachowania energii, ostateczna prędkość kuli na dnie każdego zjazdów zależy wyłącznie od wysokości, z której została upuszczona, a nie od przyjętego toru – prosty zjazd, łagodny łuk oraz falujący w górę i w dół zjazd o tej samej wysokości początkowej i końcowej dostarczą kuli na dole tą samą prędkość końcową, w idealizowanym przypadku bez tarcia. To, co kształt zmienia, to przeżycie podczas jazdy: falisty zjazd alternuje między stromymi sekcjami (gdzie sin θ dominuje i jeździec przyspiesza najszybciej) a płytkimi lub nawet pod górę wzniesieniami (gdzie grawitacja działa przeciwko jezdzącemu, tymczasowo spowalniając go, dokładnie jak mały kolega z wykorzystującą nadwyżkę energii kinetycznej do pokonywania wzniesienia).

To właśnie ta zmienna prędkość i przyspieszenie podczas jazdy sprawiają, że doświadczenie zjazdu jest różne. W rzeczywistym świecie tarcie zawsze występuje, co powoduje, że ostateczna prędkość będzie nieco mniejsza niż w idealnym przypadku bez tarcia.

Dlaczego tarcie powoduje, że wynik się różni

Kiedy rzeczywiste tarcie wkracza do gry, ścieżka zaczyna mieć znaczenie dla całkowitego czasu i ostatecznej prędkości, ponieważ siła tarcia zależy od siły normalnej, która z kolei zależy od lokalnego nachylenia – bardziej stromo nachylony fragment ma mniejszą siłę normalną (więcej grawitacji przechodzi do przyspieszenia, mniej do naciskania jeźdźca na powierzchnię) i dlatego proporcjonalnie mniejsze straty spowodowane tarciem na jednostkę przebytej odległości, a bardziej płaski fragment ma większą siłę normalną i ponosi wyższy koszt tarcia na jednostkę przebytej odległości. Dlatego zjazd łukowy, który frontowo obciąża najbardziej stromą jego część, tendencyjnie kończy się szybciej niż delikatny, lekko nachylony prosty zjazd o tej samej całkowitej wysokości i długości – minimalizuje on dystans spędzony na bardziej płaskich, tarcie-intensywnych fragmentach.

Zachowanie terminalne: kiedy przyspieszenie się zeruje

Jeśli kąt ślizgu jest wystarczająco mały, aby μ cos θ ≥ sin θ, to netto przyspieszenie w powyższym wzorze staje się równe zero lub ujemne – samo tarcie wystarczy, by zapobiec ruchowi rozpoczynającemu się, albo zatrzymać poruszającego się jeźdźca na wystarczająco stromym fragmencie. Jest to ten sam próg warunkowy określający kąt osuwania się stosu luźnych materiałów (piasku, żwiru), i dlatego projektanci zjazdów placowych celowo utrzymują dolny, rozciągły fragment płytki – jest to wbudowana strefa hamowania, która wykorzystuje dokładnie tę fizykę do bezpiecznego spowalniania jeźdźców przed dotarciem do ziemi.

Co w zasadzie różni się między prostymi, łukowymi i falistymi zjazdami tutaj

Na tej symulacji wszystkie trzy kształty zjazdów dzielą się tą samą wysokością startową i tym samym całkowitym przebiegiem poziomym, więc – przy wyłączonej tarcie – powinny skończyć w remisie zgodnie z zasadą zachowania energii. Włączenie tarcia ujawnia prawdziwe różnice: zjazd łukowy ma wczesny stromy spadek, a zjazd falistych ma zmieniające się strome i płytkie sekcje, które oba rozkładają straty na tarcie inaczej wzdłuż ścieżki, co prowadzi do mierzalnie różnych czasów zakończenia, mimo że wszystkie uwalniają tę samą całkowitą energię grawitacji.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Slide i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.