Tiling Penrosego: Aperyodyczne Porządkowanie i Kwazycykly |…

Porządek bez powtórzenia

Takie względnienie, jak siatkówka kwadratowa na szachownicy, jest okresowe: przesunięcie całego wzoru o stały wektor spowoduje, że on znowu idealnie nadpisze się sam siebie. Tego nie robi wzorcowanie Penrosa — niezależnie od tego, jak daleko go przesuniemy, nigdy się nie pokryje z pierwotnym. Jednak to nie jest losowe: podlega ścisłym zasadom dopasowania, obwieszczonej jako kolorowane łuki, które określają, jak kształty wzorcowane mogą spotkać się krawędź do krawędzi. Ta kombinacja ścisłych lokalnych zasad z globalnym brakiem powtórzenia nazywa się aperiodyczny porządek, i to przewróciło dawne założenie, że uporządkowane materiały muszą zawsze być okresowe.

Proporcja złote i romby P3

Najczęstsza wersja, P3, używa dwóch rombów: grubego rombu o kątach 72° i 108° oraz cienkiego rombu o kątach 36° i 144° — oba kąty są wielokrotnościami 36° = π/5, podstawowego kąta pięciokąta foremnego. Przy rozwoju wzorcowania Penrose’a, stosunek grubych do cienkich płytek konwerguje do proporcji złotej:

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 Zasada deflationu (na każdym kroku nowe płytki skali o 1/φ): gruby romb → 2 gęste + 1 cienki cienki romb → 1 gęsty + 1 cienki Ponieważ φ jest niewymiernym, stosunek liczb gęstych do cienkich nigdy nie osiąga proporcji całkowitej — a właśnie ta nieracionalność blokuje wzorcowanie przed zawsze okresową strukturą. Ta symulacja generuje wzorcowa P3 poprzez zaszędeflationową podstawę, pozwalając Ci przejść przez kolejne poziomy powiększenia i obserwować utrzymanie 5-krotnej simetrii na każdym poziomie.

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618

Deflation rule (each step scales new tiles by 1/φ):
  thick rhombus → 2 thick + 1 thin
  thin  rhombus → 1 thick + 1 thin

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Uwalnianie się od ograniczeń cristalograficznych

Na przestrzeni ponad stoletia crystallografowie opierały się na twierdzeniu cristalograficznym: układ periodyczny w dwóch lub trzech wymiarach może posiadać tylko symetrie rotacyjne o stopniu 1, 2, 3, 4 lub 6 — pięciostronna symetria była uznawana za niemożliwą dla dowolnego uporządkowanego ciała, ponieważ regularne pentsa nie mogą pokryć płaszczyzny bez wątpliwości. Ponieważ wzory Penrose’a są periodycznie nieskończone zamiast periodiczne, twierdzenie prosto się na nich nie zastosowuje, a radośnie wykazują przybliżoną symetrię rotacyjną pięcio- i dziesięciostronną całościowo w całym wzorcu.

Od matematyki do Nagrody Nobla

W 1982 roku fizyk Dan Shechtman badał aluminium-mangan i zauważył obrazy difrakcji elektronowej z ostrymi punktami ułożonymi w jasnej symetrii dziesięciooktantowej — orężarni długoterminowej, która według teorii była zakazana. Wynik był tak heretyczny, że powiedziano mu, aby opuścił swoje grupy badawcze. Ostatecznie okazało się, że obraz difrakcji jest oznakią kwasiukładu, trójwymiarowego fizycznego odpowiednika wzorów Penrose’a. W 2011 roku Shechtman otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie Chemii, a Międzynarodowa Unia Kristalograficzna rozszerzyła definicję układu na dowolny sól z dyskretnym obrazem difrakcji, niekoniecznie okresowego.

Często zadawane pytania

Czym jest wzorowanie Penrose'a?

Wzorowanie Penrose'a to sposób pokrywania płaskiej powierzchni niewielkim zestawem kształtów kafelkowych — zazwyczaj grubego i słabo przekrzywionego rombu — tak, aby wzór nigdy nie powtarzał się w periodyczny sposób, ale nadal przestrzegał strictych zasad dopasowania brzegowego. Jest to najbardziej znane przykładem nieperiodycznego porządku wprowadzonego przez Roger'a Penrose'a w latach 70. wieku.

Dlaczego proporcja złotego sekcjonowania pojawia się w wzorowaniach Penrose'a?

Proporcja złotego sekcjonowania phi ≈ 1,618 wywodzi się z tego, że stosunek grubych do słabo przekrzywionych rombów zbliża się do phi przy rozszerzaniu wzorowania, a geometria rombów jest oparta na regularnym pięciokącie foremnym, którego przekątna podzielona przez bok również równa się phi. Przezroczysty zasada deflacji wykorzystywana do generowania wzorowania skali każdy nowy kafelkowy element o 1/phi.

Co to jest kwazycykł i jak jest powiązane z wzorowaniem Penrose'a?

Kwazycykł to sól, której cząsteczki są ułożone w uporządkowanym ale nieperiodycznym wzorze — trójwymiarowy fizyczny analogon wzorowania Penrose'a. Dan Shechtman odkrył pierwszy kwazycykł — aluminowo-manganowy związek z niedozwolonym symetrycznością dziesięciokrotną — w 1982 roku, a za to otrzymał w 2011 roku Nobla w chemii.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Penrose Tiling — Quasi-Periodic Patterns i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Penrose Tiling — Quasi-Periodic Patterns