3D Sferyczny Szkielet: Rosje, Koła i Precesja Foucaulta

Sferowy wahadłowiec swobodny do ruchu w dwóch kierunkach

Wahadło płaskie wykonuje drgania w jednym płaszczyźnie. Sferowy wahadłowiec usuwa to ograniczenie: bob wiszący na stalowym sznurku lub niewyprostowalnej liny o ustalonej długości jest swobodny do ruchu na powierzchni sfery ośrodzonej w punkcie zawieszenia. Mieści się on w dwóch niezależnych kątach obrotowych — kącie polarnym θ, który mierzy, jak daleko od pionowego położenia prostej do góry skręcił się bob, i kącie azymutalnym φ, który mierzy jego obrót wokół osi pionowej — zamiast jednego kąta obrotowego wahadła płaskiego.

Dwa zachowane ilości kształtują każdą orbittę

Dwie rzeczy są zachowywane podczas drgań wahadła, a razem wyjaśniają wszystko, co może zrobić tor drgań. Całkowita energia mechaniczna jest zachowywana, ponieważ siła grawitacji jest jedynym czynnikiem wykonującym pracę i jest konserwatywna. Współczesność obrotowa względem pionowej osi również jest zachowywana, ponieważ moment siły grawitacji wokół tej osi wynosi zero — ciężar wahadła zawsze wskazuje prosto do dołu, przechodząc przez osię, więc nie może obracać wahadła wokół niej. Ten drugi zasada zachowania jest kluczowym rozróżnieniem względem płaskiego przypadku: każdy bokiowy nacisk przekazuje obrotność wokół pionowej osi, a menosz, że wahadło zostanie wystrzelone dokładnie z zera obrotowości, nigdy ponownie nie może przechodzić przez płaszczyznę pionową, w której zaczynał.

Rosety i szczególne przypadki prostopadłego stożka

Z podstawowymi warunkami początkowymi bob opisuje otwarte, przechodzące się wokół osi ścieżki, która wypełnia paskiem na sferze, przemieszczając się między najmniejszym a największym kątem polarnym, podczas gdy jego kąt azymutalny ciągle postępuje — to jest rosetta. Patrząc z góry, rzut poziomy bobu wygląda jak kwit, który powtarza się wielokrotnie, gdy dwie okresy, okres drgań i okres przechodzenia, przemieszczają się w i wywychodzą z prostej proporcji. Istnieje jeden szczególne warunek startowy, przy którym θ nigdy nie zmienia się: zacznij ruch bobu pionowo ze dokładnie tą prędkością, która sprawi, że siła grawitacji w dół jest równa siłie centripetalnej potrzebnej do ruchu kołowego jednolitego na tym kącie. Wtedy bob opisuje idealną poziomą okręgę o stałej wysokości, a całe system jest koniunktem — wózka obraca się wokół osi tworząc stożek, a okres zależy tylko od polowy kata stożka i długości wózka, nie zależny od masy.

conical pendulum period:  T = 2π √( L cosθ / g )
   L = rod length, θ = angle from vertical, g = gravitational acceleration
   (independent of mass — the same cancellation as in a simple pendulum's period)

Integrating towarzystwem: dlaczego RK4

Równania ruchu dla θ i φ są związanymi, nieliniowymi równaniami różniczkowymi drugiego rzędu — nie ma dla nich rozwiązania zamkniętego formuły w ogólnej sytuacji rosetty, istnieje ono tylko dla małej liczby przypadków szczególnych, takich jak wahadło koniczne. Ta symulacja integruje je numerycznie za pomocą metody Runge–Kutta czwartego rzędu, pobierając wartość pochodnej cztery razy na krok i łącząc próby, co daje wysoką dokładność na każdym kroku dla systemu nie przeprowadzanego przez miliony kroków. Dlatego brak dokładnej zachowania energii w bardzo długich symulacjach RK4 nie jest ograniczającym czynnikiem, jak to byłoby np. w symulacji orbity planety.

Tryb Foucaulta: gdy sam osad jest obrotowy

Przełącz symulację na tryb Foucaulta i osad już nie jest inertialny — jest punktem na obracającym się Ziemią. W odniesieniu do ramy odstępcowej, która sama się obraca, pojawia się dodatkowa siła pseudoliniowa, Coriolisa, a on bardzo wolno precesuje płaszczyznę drgań wahadła nawet wtedy, gdy wahadło jest wystrzelone jako płytkie drganie. Szerokość kątowa precesji wynosi Ω·sin(środkowości), gdzie Ω to prędkość obrotu Ziemi: przy polach płaszczyzna drgań obraca się raz na dzień siderealny (sin 90° = 1), a przy równiku sama nie precesuje (sin 0° = 0), a w średnich szerokościach geograficznych precesja ma poziom, który Léon Foucault pierwszy wykorzystał w 1851 roku do podania publiczności bezpośredniego i mechanicznego dowodu obrotu Ziemi bez konieczności obserwacji nieba.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz 3D Spherical Pendulum i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.