Krzywe Parametryczne: od Béziera do NURBS

Kurwa jest funkcją jednego liczby

Parametryczna krzywa nie opisuje y jako funkcji x. Zamiast tego pojedynczy parametr t, zwykle przebiegający od 0 do 1, jest wprowadzany do funkcji o wartości wektorowej P(t), która zwraca punkt. Przesuwając t od 0 do 1, punkt śledzi krzywą. Ten jeden trik pozwala uniknąć każdego problemu, który dotyka y = f(x): krzywa może sięgać w kółko, być pionowa lub nawet przecinać siebie, ponieważ x(t) i y(t) są niezależnymi funkcjami tego samego t.

Praktycznie każda krzywa używana w grafice komputerowej jest sumą ważoną punktów kontrolnych: P(t) = Σ Bi(t)·Pi, gdzie Pi to kilka punktów, które można przeciągać na ekranie, a Bi(t) są ustalonymi funkcjami mieszania, które określają, jak duży wpływ ma każdy punkt o danym parametrze t. Krzywe Bézier, B-spliny i NURBS to w rzeczywistości po prostu trzy różne wybory funkcji mieszania.

Krzywe Béziera i algorytm de Casteljau

Krzywa Béziera stopnia n jest budowana z n+1 punktów kontrolnych, wykorzystując wielomiany Bernsteina jako funkcje mieszające. W praktyce nikt nie oblicza bezpośrednio formuły Bernsteina – algorytm de Casteljau’a, opracowany w 1959 roku przez Paula de Casteljaua, oblicza ten sam punkt za pomocą powtarzalnej interpolacji liniowej, która jest numerycznie stabilna i łatwa do zaimplementowania:

funkcja deCasteljau(punkty, t): pts = punkty.slice() while pts.length > 1: następne = [] for i in 0..pts.length-2: następne.push(lerp(pts[i], pts[i+1], t)) pts = następne return pts[0] // punkt na krzywej wzdłuż parametru t live demo · algorytm de Casteljau’a przesuwający ramy po krzywej trzeciego stopnia● LIVE W każdym kroku pętli rysowany jest krótszy łańcuch segmentów interpolowanych; ostatni punkt znajduje się na krzywej, a punkty pośrednie śledzą ten sam szkielet Béziera, który został użyty do zdefiniowania konstrukcji geometrycznej dawno przed tym, jak ktokolwiek miał komputer do animacji tego.

function deCasteljau(points, t):
  pts = points.slice()
  while pts.length > 1:
    next = []
    for i in 0..pts.length-2:
      next.push(lerp(pts[i], pts[i+1], t))
    pts = next
  return pts[0]   // the point on the curve at parameter t

Od krzywych Bézier do splajnów B: lokalna kontrola

Pojedyncza krzywa Bézier ma dwie słabości. Po pierwsze, każdy punkt kontrolny wpływa na całą krzywą – przesunięcie jednego punktu powoduje, że cała forma drga, co utrudnia precyzyjne edytowanie. Po drugie, krzywa Bézier o wysokim stopniu (wiele punktów kontrolnych zmuszonych do jednej wielomianowej) ma tendencję do kołysania się między swoimi punktami, co jest wersją zjawiska Runge'go.

Splajn B-splin rozwiązuje oba problemy poprzez łączenie kilku elementów wielomianu o niskim stopniu zamiast wymuszania jednego wielomianu o wysokim stopniu przez wszystko. Wektor węzłów oznacza, gdzie jeden element się kończy i następny zaczyna, a funkcja mieszania każdego punktu kontrolnego jest gładką wgłębką, która wynosi zero poza małym oknem węzłów – dzięki temu przesuwanie punktu tylko lokalnie zmienia kształt krzywej. Kubiczny splajn B-splin jest domyślny w większości oprogramowania CAD i animacji z tego powodu: przewidywalne, lokalne edycje.

NURBS: przypisywanie wag punktom kontrolnym

B-splina to nadal wielomian, a wielomiany nie mogą dokładnie reprezentować okręgu lub elipsy – "okrąg" Bezofera jest zawsze przybliżeniem. NURBS (Nierównomierne Racionalne B-Spliny) rozwiązują to, dając każdemu punktowi kontrolnemu dodatkową liczbę, wagę *w_i*, i dzieląc przez sumę ważonych funkcji mieszania zamiast jej prostego sumowania:

C(t) = ( Σ N_i,p(t)·*w_i*·P_i ) / ( Σ N_i,p(t)·*w_i*) Podciągnięcie wagi do góry przesuwa krzywą w kierunku tego punktu kontrolnego bez jego przesunięcia; pchnięcie w kierunku zera odchyla krzywą. Przy odpowiednim wzorze wag (łańcuch ćwiartkowych łuków używa wag zmieniających się między 1 i √2/2) krzywa NURBS rysuje dokładnie matematycznie okrąg, dlatego też każdy poważny jądro CAD – geometria pod samochodami, samolotami i turbinami – jest zbudowany na bazie NURBS zamiast prostych splajnów.

C(t) = ( Σ Ni,p(t)·wi·Pi ) / ( Σ Ni,p(t)·wi )

Wykorzystane terminy i tłumaczenie:

Czcionki TrueType przechowują kontury znaków jako krzywe kwadratowe Béziera; PostScript, OpenType-CFF, PDF i ścieżki SVG wykorzystują krzywe sześciowargowe (cubic). Narzędzie do rysowania kresek w Adobe Illustrator, narzędzie wektorowe w Figma oraz każdy "uchwyt krzywej Béziera", który przeciągnąłeś w aplikacji do projektowania, to dokładnie konstrukcja De Casteljau podana powyżej, zilustrowana od tyłu — umieszczasz punkty zaczepienia i uchwyty, a oprogramowanie rozwiązuje dla ciebie krzywą. Programy CAD takie jak SolidWorks, Rhino i Fusion 360 wykorzystują NURBS zarówno dla krzywych, jak i powierzchni, ponieważ ten sam trik z racjonalną wagą, który rysuje dokładny okrąg, buduje również dokładne cylindry i sfery w 3D.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Bézier, B-Spline & NURBS i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.