Model Isinga: Przejścia fazowe i Metropolita Monte Carlo

Obroty na siatce

Model Isinga, zaproponowany przez Wilhelma Lenza w 1920 roku i rozwiązany w jednym wymiarze przez jego ucznia Ernsta Isinga w 1925 roku, umieszcza zmienną dyskretną – spin, s = +1 lub −1 – na każdym węźle siatki. Każdy spin oddziałuje jedynie z najbliższymi sąsiadami, a całkowita energia konfiguracji wynosi:

E = -J * suma_wsrod_par_sasiadow(s_i * s_j) - B * suma_wsrod_wszystkich_węzłów(s_i) J > 0 → sąsiadom zależy od ustawienia się w tym samym kierunku (ferromagnetyczne) J < 0 → sąsiadom zależy od ustawienia się w przeciwnym kierunku (antyferromagnetyczne) B → pole magnetyczne zewnętrzne, wpływa na ustawienie się spinów w kierunku +1 lub -1 To jest cały model: bez mechaniki kwantowej, bez ciągłych pól, tylko dyskretne spiny i ich najbliższe sąsiadom. Zaskakujące jest to, że ten niezwykle uproszczony zestaw zasad wystarcza do odtworzenia rzeczywistej, ostrej przejścia fazowego.

E = -J * sum_over_neighbour_pairs(s_i * s_j)  -  B * sum_over_all_sites(s_i)

J > 0  → neighbours prefer to align (ferromagnetic)
J < 0  → neighbours prefer to anti-align (antiferromagnetic)
B      → external magnetic field, biases spins toward +1 or -1

Algorytm Metropolisa

Dokładne wyliczenie każdej konfiguracji spinów jest niemożliwe dla jakiegokolwiek realistycznego rozmiaru siatki – siatka 20x20 ma już 2^400 konfiguracji. Zamiast tego, model jest próbkowany przy użyciu algorytmu Metropolisa-Hastingsa (1953): wielokrotnie proponuje się odwrócenie losowo wybranej spiny, oblicza wynikowy zmianę energii ΔE i akceptuje lub odrzuca odwrócenie prawdopodobnie.

wybierz losowe miejsce i ΔE = zmiana_energii_jeśli_odwróci się_i // zależy tylko od 4 sąsiadów i Jeśli ΔE <= 0: odwróć(i) // zawsze akceptuj ruch obniżający energię else: zaakceptuj z prawdopodobieństwem exp(-ΔE / (k_B * T)) // czasami akceptuj wzrost energii powtarzaj miliony razy → siatka ustala się w rozkładzie Boltzmanna w temperaturze T To jedno-spinowe-w-razie-próby zasada jest niezbędna: spełnia ona warunek szczegółowej równowagi, matematyczną warunkę, która gwarantuje, że symulacja zbiega się do prawidłowego rozkładu termicznego równowagi, zamiast jakiejś innej, fizycznie nieprawidłowej stałej stany. Odwracanie wielu spinów z tej samej chwili w jednym kroku łamiąby tę gwarancję.

pick a random site i
dE = energy_change_if_we_flip(i)     // only depends on i's 4 neighbours
if dE <= 0:
    flip(i)                          // always accept a move that lowers energy
else:
    accept with probability exp(-dE / (k_B * T))   // sometimes accept a rise

repeat millions of times → the lattice settles into the Boltzmann
distribution at temperature T

Krytyczna temperatura i spontaniczne magnetyzm

Przy wysokiej temperaturze dominuje szum termiczny: momenty obrotowe przechodzą losowo, niezależnie od sąsiednich atomów, a średnia magnetyzacja wynosi zero. Przy niskiej temperaturze dominuje oddziaływanie J: sąsiadujące momenty obrotowe ustawiają się w dużych, uporządkowanych domenach, a siatka rozwija niezerową spontaniczną magnetyzację nawet bez zewnętrznego pola. Lars Onsager dokładnie rozwiązał 2D model magnetycznego układu o kwadratowej strukturze w 1944 roku i stwierdził ostry przejście w dokładnej temperaturze krytycznej, k_B T_c / J = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2.269. W chwili T_c długość współbieżności między momentami obrotowymi wyklada się – fragment uporządkowanych momentów może obejmować całą siatkę – co jest charakterystyczne dla prawdziwej ciągłej (drugiego rzędu) transformacji fazowej.

Dlaczego fizycy nadal interesują się tym modelem zabawnym

Rzeczywnego znaczenia ma model Isinga nie leży w dokładnym opisywaniu prawdziwych magnesów – tkwi w tym, że jest jednym z nielicznych modeli interakcyjnych i statystycznych, które można rozwiązać dokładnie, co czyni go punktem odniesienia, do którego każda metoda aproksymacyjna (teoria pola średniego, grupa renormalizacji, same techniki Monte Carlo) jest sprawdzana. Jego klasa uniwersalności – czyli konkretny sposób, w jaki skali się ilości fizyczne w pobliżu krytycznego punktu – opisuje ogromny zakres niezwiązanych systemów fizycznych w poblizu ich własnych krytycznych punktów, od mieszanin cieczy binarnych rozdzielających się na dwie fazy po niektóre modele aktywności neuronalnej, ponieważ w pobliżu ciągłej transformacji fazowej szczegóły mikroskopowe systemu przestają mieć znaczenie i tylko jego wymiarowość i symetria determinują zachowanie krytyczne.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Ising Model i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.