Model Isinga: Jak Siatka Monet Nauczy się Zgadzać

Siatka spinów chętnych do zgody z sąsiadami

Model Isinga wprowadzony przez Wilhelma Lenza i rozwiąany w 1925 roku przez jego studenta Ernsta Izinga jest najprostszą possible caricature magnetyzu. Umieść spin s = ±1 na każdym punkcie siatki kwadratowej. Każdy spin zwraca uwagę tylko na swoich cztery najbliższe sąsiadów, a energia całościowego konfiguracji wynosi:

H = −J ∑ s_i s_j − h ∑_i s_i J > 0 wirowanie magnetyczne (zgodne sąsiedzi zniżają energię) suma tylko nad parami najbliższych sąsiadów h pole zewnętrznego (0 w klasycznym demo przejścia fazowego) To całe model: nie ma sił długookresowych, ani mechaniki kwantowej, tylko lokalna zasada, że sasiednie spiny preferują pokazywanie taką samą kierunkowość. Cały ciekawe — ostre przejście fazowe, uniwersalne wykładniki krytyczne, dokładnie rozwiązalna wolna energia — wynika z tej jednej lokalnej zasady po dodaniu temperatury.

H = −J ∑ s_i s_j  −  h ∑_i s_i

J > 0   ferromagnetic coupling (aligned neighbours lower the energy)
   sum over nearest-neighbour pairs only
h       external field (0 in the classic phase-transition demo)

Samplowanie za pomocą algorytmu Metropolisa

Na temperaturze T prawdopodobieństwo dowolnej konfiguracji jest dane przez wagę Boltzmana exp(−H/kT), a obliczenie dokładnych średnich w 2^(N²) konfiguracjach jest niemożliwe dla jakiegokolwiek rzeczywistej wielkości siatki. Zamiast tego algorytm Metropolisa (1953) tworzy ciąg Markowa, który odwiedza konfiguracje z dokładnie odpowiednią częstotliwością w długotrwałym ciągu:

powtarzaj: wybierz losowy punkt i ΔE = zmiana energii, jeśli s_i zostanie odbite jeśli ΔE <= 0: przyjmij obrót (zniży to energię) w przeciwnym razie: przyjmij z prawdopodobieństwem exp(−ΔE / kT) (w przeciwnym razie pozostaw s_i niezmieniony) Przyjmowanie niektórych ruchów, które podnoszą energię, jest kluczem: to pozwala na wyjście z lokalnych minimum i na próbowanie pełnej rozkładu termicznego, a nie tylko spadek do stanu podstawowego. Obejrzyj każdy punkt siatki raz i uzyskasz jeden krok Monte Carlo; wykonując wystarczająco dużo kroków, średnie czasowe magnetyzacji, energii oraz innych obserwowalnych cech konvergują do ich wartości równowagowych na tej temperaturze.

repeat:
  pick a random site i
  ΔE = energy change if s_i were flipped
  if ΔE <= 0:            accept the flip (it lowers the energy)
  else:                    accept with probability exp(−ΔE / kT)
  (otherwise leave s_i unchanged)

Temperatura krytyczna i dokładne rozwiązanie Onsaga

W dwóch wymiarach model ma prawdziwe przejście fazowe przy niezerowej temperaturze — w przeciwieństwie do łańcucha jednowymiarowego, który nigdy się nie uporządkuje dla T > 0. Powyżej temperatury krytycznej Tc, agitacja termiczna zwycięża i średnia magnetyzacja wynosi zero: spiny wskazują w górę i dół w przybliżonym równym stopniu, bezorganicznie. Poniżej Tc, powiązania zwyciężą i siatka spontanicznie wybiera jedno kierunek, rozwijając niezerowy net magnetyzacja bez zewnetrznego pola przyciskającego ją do danego stanu. Lars Onsager rozwiązał dokładne 2D model na siatkach kwadratowych w 1944 roku i znalazł:

kTc / J = 2 / ln(1 + √2) ≈ 2,269 Magnetyzacja spontaniczna dla T < Tc: M(T) = [1 − sinh⁻⁴(2J/kT)]^(1/8) Wynik Onsaga pozostaje jednym z niewielu dokładnych rozwiązań niebanalnych przejść fazowych w mechanice statystycznej, a daje symulacjom jak ta precyzyjny cel do sprawdzenia: uruchom łańcuch Metropolisa na wielu temperaturach, narysuj średnie |M| przeciwko T, i powinien on śledzić krzywą Onsaga, spłaszczając się do zera dokładnie w momencie Tc.

kTc / J = 2 / ln(1 + √2)  ≈  2.269

Spontaneous magnetisation for T < Tc:
  M(T) = [1 − sinh⁻⁴(2J/kT)]^(1/8)

Krytyczne wykładniki i jednoznaczność

Blisko Tc, wiele wielkości rozbiega się lub zniknie jako potęgi zmniejszonej temperatury t = (T−Tc)/Tc: magnetyzacja M ∼ |t|^β (β = 1/8), suscepność χ ∼ |t|^−γ (γ = 7/4), ciepło specyficzne C ∼ ln|t| (rozszerzenie logarytmiczne, a nie potęgowo, dla tego modelu), oraz długość korelacji ξ ∼ |t|^−ν (ν = 1). To, co sprawia, że te liczby są sławnymi, to jednoznaczność: niemalże całkowicie różne systemy fizyczne — rzeczywiste ferromagnety ojednorzędowe, pewne mieszania dwuczłonowych płynów blisko punktu ich krytycznego mieszania, niektóre punkty krytyczne cieczą-gaz — dzielą się dokładnie tymi samymi wykładnikami jak model 2D Isinga. To dlatego, że blisko przejścia fazowego istotne są tylko wymiarowość i symetria parametru porządku, a nie mikroskopowe szczegóły interakcji.

Często zadawane pytania