Efekt Dzhanibekowa: Dlaczego Środkowa Ośawsze Skręca

Gwara zawsze skręca się

W czerwcu 1985 roku kosmonaut Władimir Dzhanibekow, pracując na stacji kosmicznej Salyut 7, obrócił gwara zawsze skręca się od śrubka i wysłał go w flotację po kabine. Zamiast przemieszczać się z równym obrotem, obracał się płynnie przez kilka sekund, nagle obracał 180 stopni, obracał się w drugą stronę przez kilka sekund, wrócił, i kontynuował ten cykl bez końca. To nie było sztuczka z zerowej grawitacji ani awaria — to prawdziwy, plynny konsekwencja klasyczna obracania się twardego ciała o trzech różnych momentach obrotu wokół określonego jednego z jego trzech osi podstawowych.

Równania Eulera dla rotacji bez momentu obrotowego

Każdy ciało sztywny ma trzy osiowe osie główne, które są wzajemnie prostopadłe i mają różne chwilowe momenty obracania się. Oznaczmy je tak, aby I₁ > I₂ > I₃ — największe, średnie i najmniejsze. Bez zewnętrznego momentu obrotowego, składowe prędkości obrotowej ω₁, ω₂, ω₃ wokół tych trzech osi ewoluują według równań Eulera:

I₁ dω₁/dt = (I₂ − I₃) ω₂ ω₃ I₂ dω₂/dt = (I₃ − I₁) ω₃ ω₁ I₃ dω₃/dt = (I₁ − I₂) ω₁ ω₂ Zachowane: energia kinetyczna T = ½(I₁ω₁² + I₂ω₂² + I₃ω₃²) moment obrotu magnitudy L² = I₁²ω₁² + I₂²ω₂² + I₃²ω₃² Oba — energia kinetyczna T i moment obrotu L — są zachowane w trakcie ruchu, co oznacza, że końcówka wektora prędkości obrotowej jest zmuszona do pozostawania na przecięciu elipsoidy (stała T) i sfery (stała L). To przecięcie dokładnie określa, czy bliskie rotacje pozostają blisko lub uciekają.

I₁ dω₁/dt = (I₂ − I₃) ω₂ ω₃
I₂ dω₂/dt = (I₃ − I₁) ω₃ ω₁
I₃ dω₃/dt = (I₁ − I₂) ω₁ ω₂

Conserved:  kinetic energy T = ½(I₁ω₁² + I₂ω₂² + I₃ω₃²)
            angular momentum magnitude L² = I₁²ω₁² + I₂²ω₂² + I₃²ω₃²

Twierdzenie o osi pośrednim

Liniowozaimportuj równania Eulera wokół spinu pureszowego względem każdego osi głównego i sprawdź, czy mała drgań rośnie lub pozostaje ograniczona. Spinning pureszowy względem osi o największym lub najmniejszym momentie masy daje liniową system z wartości własnymi urojonymi — każda mała perturbacja tylko oscyluje łagodnie wokół osi spinu i rotacja jest stabilna. Spinning pureszowy względem osi pośredniej daje wartości własne o przeciwnych znakach — mała perturbacja rośnie eksponencjalnie zamiast oscylować. Tylko jedno zamiany znaku w wartościach własnych, często nazywane twierdzeniem rakiety tenisowej, ponieważ można je powtórzyć, rzucając rakietę spinującą względem osi pośredniej, jest całą mechanizmem za tą efektem: energetyczna i chwilowa pędowa trasa bliska osi pośredniej jest siodłem, a nie centrum, na krzywej przecięcia T-i-L.

Dlaczego koło kipie zamiast tylko drgać w nieskończoność

Bądź że niepewna trajektoria jest orbitą heterokliniczną — ścieżką, która zaczyna się niemalże w dowolnym punkcie bliskim do obracania się o kąt odrobinę inny niż oś pośrednia i kończy niemalże w punkcie bliskim do obracania się w przeciwnym kierunku o tej samej osi — ciało nie tylko powoli odchodzi od niepewnej rotacji, ale wykonuje pełen obrot do obrotu symetrycznego, tracąc rozwiązanie wyrażone funkcjami eliptycznymi Jacobi. Ponieważ oba końce tej orbity są równie niepewne, w braku dowolnej straty energii proces powtarza się: koło kipie z powrotem, blisko (wciąż niepewnego) rotacji pośredniej, a następnie kipie ponownie, nieskończenie wiele razy, dokładnie tak jak filmował Dzhanibekov.

Gdzie jest widoczny poza obracającym się bułeczkiem

Każdy swobodny ciało sztywny o trzech rozłącznych momentach masy obrotowej podlega tej samej instabilności — tyczące się ona asteroide i nieprzerywne Księżyce z nierównomierną kształtami, które mogą ją pokazać na czasach astronomicznych. Projektanci statków kosmicznych muszą aktywnie unikać stabilizowania obrotu statku wokół osi średniej, a książki, telefony i raquetki tenisowe pokazują to z dobrze zrzuconego rzutu na Ziemi (gdzie obrót jest pojedynczym półobrotem zamiast powtarzającego się cyklu, ponieważ opór powietrza oraz sam rzut rozprasza energię).

Często zadawane pytania