Orbitaly Hidru: Spherical Harmonics i Zarysy Stanów s, p i d

Symetryczny sfericzny potencjał oddziela się jasno

Atom węglowy jest jednym elektronem powiązanym protonem przez potencjał Coulumbsa V(r) = −e²/(4πε₀r), który zależy tylko od odległości r, nigdy nie od kierunku. Ta sfericzna symetria oznacza, że hamiltonian komutuje się z operatorem całkowitej momentu angularnego L² i L_z, więc wszystkie trzy dzielą się wspólnym zestawem funkcji własnych. Szukanie rozwiązań postaci iloczynowej ψ(r,θ,φ) = R(r)·Y(θ,φ) sprowadza całe równanie Schrödingera do jednego równania plynącego angulaρnego i jednego plynącego radiaνnego, połączone tylko stałą separacji l(l+1).

Część kątowa: harmoniki szfrowe

Równanie kątowe rozwiązane jest przez harmoniki szfrowe Ylm(θ,φ) — tą samą rodzinę funkcji, która opisuje pola wielomianów w elektromagnetyzmie i trywialne trywialności sfery. Każda z nich rozkłada się na wielomian Legendre’a połączonych z liczbą associated Legendre’em zależny od θ oraz fazę eimφ zależną od φ. Liczba quantum l = 0, 1, 2, 3… jest etykietowana jako s, p, d, f konwencją spektroskopii z lat 80. XIX (sharp, principal, diffuse, fundamental), a dla każdego l wartość m zakłada się w 2l+1 całkowitej wartości od −l do +l — źródło „jednego orbitala s, trzech orbitali p, pięciu orbitali d".

Radialna część i stopień energetyczny −13,6 eV/n²

Rozwiązanie równania radialnego dla potencjału Coulomba wymaga podstawienia R(r) = e⁻ʳ/ₐ₀·(r/ₐ₀)ˡ·L(r), gdzie a₀ to promień Bohra. Wymaganie, aby funkcja falowa pozostawała skończona przy r → ∞ zmusza L(r) do być wielomianem Laguerre'a związanym — ta sama warunek skończonego wartości jest odpowiedzialny za ustalenie energii:

Eₙ = −(m e⁴) / (2(4πε₀)²ℏ²n²) = −13,6 eV / n² Zaskakująco, ta zależność zależy tylko od liczb quantum principalnej n, nigdy nie od l ani m — to „losowe” zdegenerowanie charakterystyczne dla czystego potencjału 1/r. Zniknie ono dla dowolnego innego potencjalu centralnego, a w rzeczywistych atomach wieloelektronowych jest podnoszone przez osłanianie elektronów, co dokładnie wyjaśnia, dlaczego cięższe elementy potrzebują pełnej struktury tablicy okresowej zamiast prostej skali energetycznej jak u hidroenu.

Eₙ = −(m e⁴) / (2(4πε₀)²ℏ²n²) = −13.6 eV / n²

Numerzy kwantowe n, l, m i kształty orbitali

Trzy liczby kwantowe pełny opisują orbital: n (1, 2, 3...) ustawia energetyczną warstwę, l (0 do n−1) ustawia kształt, a m (−l do +l) ustawia orientację. Orbitaly s (l=0) są symetryczne wokół sfery i mają niezerową gęstość bezpośrednio przy jądrze; orbitaly p (l=1) mają dwie lobowe części o przeciwnych znakach rozdzielone przez płaszczyznę nodalną; orbitaly d (l=2) tworzą kształt podobny do kwiatu clovera z czterema lobami i dwiema powierzchniami nodalnymi kątowymi. Każdy orbital ma n−1 węzłów rozdzielonych między warstwami radialnymi a powierzchniami kątowymi — to samo liczenie fal stacjonarnych, które rządzi harmonikami drgającej linii, ale w trzech wymiarach i ograniczonej siłą Coulomba zamiast stałej długości.

Często zadawane pytania