Hodgkin-Huxley: Równania za tle impulsu nerwowego

Membrane jako elektryczny układ

W 1952 roku Alan Hodgkin i Andrew Huxley opublikowali model ogonu gigantycznego kurka morskiego, oparty na prostej idei fizycznej: błonę komórkową, jako cienką warstwę izolatora oddzielającą ładunek, zachowuje się jak kondensator o pojemności Cm ≈ 1 μF/cm². Wewnątrz niej są zasiane kanały jonowe — proteiny otwierające i zamykające się w odpowiedzi na napięcie — które zachowują się jak rezystory zależne od napięcia. Siła napędowa dla każdego rodzaju jona wynosi różnicę między potencjałem błony V a własnym równowodzącym (Nernstowskim) potencjałem E tego jona. Podstawując te elementy, potencjał błony musi spełniać równanie równowagi prądów:

C_m·dV/dt = I_ext − I_Na − I_K − I_L I_Na = g_Na·m³h·(V − E_Na) // prąd jonowy sodu I_K = g_K·n⁴·(V − E_K) // prąd jonowy potasu I_L = g_L·(V − E_L) // prąd lekki Hodgkin i Huxley mierni bezpośrednio przepustowości jonowe sodu i potasu w wynikach doświadczalnych z zamknięcia napięcia na ogonie kurka morskiego, a następnie dopasowali stałe numeryczne, które nadal produkcją ich oryginalnych wyników: Cm = 1 μF/cm², g_Na = 120, E_Na = +50 mV, g_K = 36, E_K = −77 mV, g_L = 0.3, E_L = −54.4 mV, co daje potencjał odpoczywny wokół −65 mV.

C_m·dV/dt = I_ext − I_Na − I_K − I_L
I_Na = g_Na·m³h·(V − E_Na)     // sodium current
I_K  = g_K·n⁴·(V − E_K)        // potassium current
I_L  = g_L·(V − E_L)           // leak current

Cztery powiązane równania, trzy brzegi

Cały system ma jedno równanie dla napięcia i trzy więcej dla zmiennych regulujących m, h i n — każda z tych zmiennych jest prawdopodobieństwem, pomiędzy 0 a 1, że dany brzeg w proteinie kanalu jonowego jest otwarty. Kanal sodu potrzebuje trzech otwartych brzegów m i jednego h, co daje wyrażenie m³h; kanal potasu potrzebuje czterech identycznych brzegów n, co daje wyrażenie n⁴. Każdy brzeg powoli osiąga stan równowagowy z własnym stałym czasem relaksacji zależnym od napięcia, regulowany funkcjami empirycznymi prędkości α(V) i β(V), dopasowanymi do oryginalnych danych z pomiarów podciśnieniowych:

dm/dt = α_m(V)(1−m) − β_m(V)·m dh/dt = α_h(V)(1−h) − β_h(V)·h dn/dt = α_n(V)(1−n) − β_n(V)·n Brzeg h jest najbardziej interesującym: zaczyna być głównie otwarty w spoczynku (około 0,6) i zamknie się pod wpływem depolarizacji membrany, przerywając tok jonów sodu i kończąc impuls akcji nawet podczas nadal istniejącego sygnału — to co sprawia, że akcja potencjaly jest autolimitującymimpulsowym sygnałem, a nie zdecydowanie rozbieżnym.

dm/dt = α_m(V)(1−m) − β_m(V)·m
dh/dt = α_h(V)(1−h) − β_h(V)·h
dn/dt = α_n(V)(1−n) − β_n(V)·n

Integrowanie sztywnego systemu: dlaczego RK4

Spik trwa około milisekundy, a szybsze wejście m ma stałą czasową blisko 0,1 ms przy próbie — dobre rozmiary kroku wynoszą dt = 0,01 ms. Prosta integracja Eulera jest niestabilna na tym systemie o takim kroku; klasyka metody czwartego rzędu Runge-Kutta (RK4) ocenia pochodną cztery razy na każdy krok i pozostaje zarówno stabilna, jak i dokładna:

k1 = f(stan) k2 = f(stan + dt/2·k1) k3 = f(stan + dt/2·k2) k4 = f(stan + dt·k3) stan_następny = stan + dt/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) Zastosowana do wszystkich czterech zmiennych stanu — V, m, h, n — to integrator, który powtarza krzywe Hodgkin i Huxley z 1952 roku w granicach dokładności numerycznej.

k1 = f(state)
k2 = f(state + dt/2·k1)
k3 = f(state + dt/2·k2)
k4 = f(state + dt·k3)
state_next = state + dt/6·(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Cztery fazy spiku

Wstrzykując krótki impuls prądu, potencjał membranowy przebiega charakterystyczną sekwencję. W spoczynku (≈ −65 mV) przepływy jonów sodu wewnątrzkomórkowe i jonów potasu zewnętrzne są równowazne, m ≈ 0.05, h ≈ 0.60, n ≈ 0.32. W fazie rosnącej, depolaryzacja otwiera szybkie gate m prawie natychmiast, co prowadzi do powfuknięcia jonów sodu, podczas gdy gate h nadal są otwarte. Na szczycie (±30 do ±40 mV) gate h zamykają się, przestając przepływać jonów sodu, a gate n wolniej otwierają się dalej i rozpoczęcie wyfukowania jonów potasu prowadzi do depolaryzacji. Podczas przebywania w fazie spadku (undershoot) gate n zamykają się wolno, co prowadzi do momentu hiperpolaryzacji membrany poniżej poziomu spoczynkowego i tworzy okres refrakcyjny, podczas którego drugi spik nie może być wywołany. Poniżej około −55 mV sygnał zniknie samodzielnie do stanu spoczynku; powyżej tego poziomu dodatkowa polaryzacja wraz z dalszym otwieraniem gate sodium prowadzi do odwracania się sygnału, niezależnie od siły sygnału — cecha wszystko-lub-niczego spiku, która sprawia, że impuls nerwowy jest prawdziwym sygnałem binarnym.

Poza pojedynczym neuronem

Znacznie wielu HH neuronów na siatce poprzez przewodniczącą łączenie staje się ekscytowalnym medium, dodając do równania napięcia wyrażający przewodność: C_m·∂V/∂t = D∇²V − I_Na − I_K − I_L + I_ext. W dwóch wymiarach przerwana płaska wawa może skrzywić się w re-entrantny spirale — obliczeniowy odpowiednik niebezpiecznych arrhythmii serca, takich jak fibrillacja ventrykularna. W symulacjach na skalę dużych tkanek pełny czterowariabowy model jest często zastąpiony przez dwuwariabowy redukcji FitzHugh-Nagumo, który zachowuje ekscytowalność i strukturę bifurkacji za ułamek ceny. Dalsze szczegółowe badania dodają dendryty wielokompartamentalne poprzez równanie kablowe lub zastępują liscie ODE regulacji luki stacjonarnymi chainami Markowa, aby zachować szum luki blisko granicy ekscytacji.

Często zadawane pytania