Modely SIR i SEIR — R₀ i odporność herdowa

Trzy kompartymenty, jedna zamknięta populacja

Model SIR dzieli populację o ustalonej wielkości N na trzy kompartymente, przez które każdy indywidualny przepływa w porządku: Przeczuwane (S) — nigdy nie zachorowane i mogą zaczerpnąć choroby; Infekcjonowane (I) — obecnie chore i zdolne do rozprzestrzeniania jej; oraz Usunięte (R) — przywrócone z odpornością, lub zmarłe, w każdym razie już nie uczestniczą w transmisji. Model opiera się na trzech idealisacjach: równomiernym wymieszaniu (każdy przeczuwany jest równie prawdopodobny do kontaktu z dowolnym infekcjonowanym), zamkniętej populacji (S+I+R = N pozostaje stałe — brak porodów, śmierci ani migracji) oraz trwałą odporność po przywracaniu.

System równań różniczkowych

Oznaczmy β jako stopień transmisji, a γ jako stopień odzyskiwania (1/γ to średnia trwanie infekcji). Nowe infekcje występują z prędkością β·S·I/N — wyrażenie proporcjonalności zależnej od częstotliwości, stosowane w sytuacjach, gdy stopień kontaktu ograniczony jest czasem, a nie gęstością:

dS/dt = −β·S·I/N
dI/dt =  β·S·I/N − γ·I
dR/dt =  γ·I
// check: dS/dt + dI/dt + dR/dt = 0  ⟹  S+I+R = N stays constant

R₀ i próg odporności herdowej

Liczba reprezentatywna dla podstawowego rozprzestrzeniania się R₀ = β/γ to średnia liczba zakażeń drugiego stopnia, które jedna osoba choreja spowoduje w całkowicie narażonej populacji. Blisko początku S ≈ N, więc dI/dt ≈ (β−γ)·I: epidemia rośnie dokładnie kiedy R₀ > 1. Wszczepione wirusy measles osiąga R₀ ≈ 12–18, weryzonalna gryp sezonowa — R₀ ≈ 1,2–1,4, a oryginalny nacinek SARS-CoV-2 — R₀ ≈ 2,5–3.

Ustawienie dI/dt = 0 na szczycie epidemii da krytyczną ujemną liczbę narażonych S*/N = γ/β = 1/R₀, więc ujemna część odporności herdowej potrzebna do zatrzymania rosnącej epidemii — to jest odporność herdowa — wynosi:

h = 1 − 1/R₀
  measles  (R₀=15): h ≈ 93%
  COVID-19 (R₀=3):  h ≈ 67%
  influenza(R₀=1.3):h ≈ 23%

SEIR: dodanie okresu ukrytego

Wiele chorób ma okres incubacji, podczas którego osoba jest zainfekowana, ale nie nadaje się do transmisji. SEIR wprowadza kompartメント Exposed między S a I, który jest zarządzany przez stopień σ = 1/(średni okres ukryty):

dS/dt = −β·S·I/N dE/dt = β·S·I/N − σ·E dI/dt = σ·E − γ·I dR/dt = γ·I // R₀ = β/γ pozostaje niewzruszone — okres ukryty przesuwa czas, a nie próg Metoda czwartego rzędu Runge-Kutta (RK4) zwiększa wektor stanu [S,E,I,R] o jeden krok w czasie — ta sama metoda numeryczna używana przez wszystkie symulacje układów dynamicznych na tej stronie, ponieważ metoda Eulera jest za niewłaściwa dla systemu sztywnego i wykładniczo rosnącego, jak wybuch epidemii.

dS/dt = −β·S·I/N
dE/dt =  β·S·I/N − σ·E
dI/dt =  σ·E − γ·I
dR/dt =  γ·I
// R₀ = β/γ is unchanged — the latent period shifts timing, not the threshold

Po zamkniętym, deterministycznym modelu

Dodanie stopu przyrostu/utrata życia μ powoduje, że wirus pozostaje istniejący w sposób endemiczny, a nie zanika. Zmęczone odporności (SIRS) pozwala na powrót R do S, co tworzy sezonowe falne wzory widoczne u gryp. W rzeczywistości epidemie są również stochastyczne i przestrzenne: modele oparte na agentach symulują sieci kontaktów indywidualnych, a modele meta-populacji zastosowują dynamikę SIR wewnątrz każdego miasta lub regionu i łączą je poprzez macierz mobilności — podejście założone podczas prognozowania pandemii przewożonych lotniskami.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz SIR Epidemic Model i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.