Klasyczny model Heisenberga: spin, temperatura i porządek magnetyczny

Spin jako strzała, nie bit

Model Ising, konia rachunku statystycznego, nadaje każdemu punktowi siatki spin, który może wskazywać tylko do góry lub w dół — pojedynczy bit. Klasyka modelu Heisenberga uściśla tę ograniczenie: każdy punkt nosi ciągły wektor trójwymiarowy jednostkowy, wolny do wskazywania się na dowolnym punkcie sfery. To dodatkowe swobodę sprawia, że jest znacznie bliższym klasycznym odpowiednikiem rzeczywistego kwantowego momentu magnetycznego, co kosztuje się znacznie większym przestrzenią konfiguracyjną do próbkowania.

Energia wymianowa

Sąsiednie spiniki interagują poprzez sprzężenie wymiennym J, które nagradza zgodność. Całkowita energia sumuje iloczyn skalarny dla każdej pary sąsiadujących punktów siatki:

H = -J · Σ (S_i · S_j) J > 0 → ferromagnetyczne (zgodne sąsiednie spiniki zniżają energię) J < 0 → antiferromagnetyczne (antyzgodne sąsiednie spiniki zniżają energię) Ponieważ S_i · S_j zależy od kąta między dwoma wektorami jednostkowymi, a nie tylko od ich znaku, krajobraz energetyczny jest gładki i ciągły, w przeciwieństwie do dyskretnego sumowania czterech wartości ujemnych lub dodatnich dla Isinga. Każda mała rotacja spiniku zmienia energię o nieco; nie ma tu minimalnej kroku.

H = -J · Σ (S_i · S_j)

  J > 0  →  ferromagnetic  (aligned neighbours lower the energy)
  J < 0  →  antiferromagnetic  (anti-aligned neighbours lower the energy)

Metod Monte Carlo Metropolisa

Nie rozwiązuje się tego systemu analitycznie dla dużego siatki, więc jest on próbkowany: wybierz losowy punkt, zaproponuj nową losową orientację spinu w tym punkcie, oblicz zmienioną energię ΔE, a następnie przyjmij ruch bezwzględnie, jeśli ΔE ≤ 0. Jeśli ruch podniesie energię, zdecyduj się na niego z prawdopodobieństwem exp(-ΔE / k_B T) — w przeciwnym razie odrzuć go i pozostaw starych orientacji. Powtarzane milion razy, taka reguła Metropolisa dowolnie próbuje konfiguracje zgodnie z poprawną rozkładem termicznym (Boltzmanowskim) przy temperaturze T.

Porządek z hałasu: domeny i temperatura uporządkowania

Zacznij siatkę w pełni losowo i uruchom ją gorącą: sąsiednie spiniki wskazują w różne kierunki, a średnia magnetyzacja całościowej siatki sięga blisko zera — stan paramagnetyczny bezporządkowany. Spuścisz temperaturę i silniki przemiany zaczynają zwyciężyć nad hałasu termicznego: grupy sąsiednich spiników zaczynają wskazywać ogólnie tą samą kierunek, a te grupy — domeny magnetyczne — rosną i się ujawniają, gdy temperatura kontynuuje spadać, dokładnie to co symulacja żywa przedstawia jako obszary o pasujących barwach.

Dlaczego to różni się od modelu Isinga

Spiny Isinga mają symetrię dyskretną z dwiema stanami (Z2), a 2D model Isinga ma słynną dokładną rozwiązanie (Onsager, 1944) z prawdziwym przejściem fazowym na skończonej krytycznej temperaturze. Spiny w modelu Heisenberga mają zamiast tego ciągłą symetrię rotacyjną (O(3)), a twierdzenie Mermin-Wagner zabrania tej ciągłej symetrii, aby samorazumowalnie przerwała się do prawdziwej długoterminowej uporządkowania w jednym lub dwóch wymiarach przy dowolnej niezerowej temperaturze, w granicznym idealnym przypadku nieskończonego siatki. W rzeczywistości siatki są jednak skończone, dlatego nadal widocznie rozwijają krótkoterminowe domeny korelacji, które się rozszerzają przy opadaniu temperatury — silny odbicie długoterminowego uporządkowania nawet tam, gdzie matematycznie zabronione jest prawdziwe długoterminowe uporządkowanie.

Często zadawane pytania