Gyroid i Jego Rodzina Powierzchni Minimalnych

Co sprawia, że powierzchnia jest minimalna

Zanurzyć można dowolny kształt drutu w roztworze mydła i wyciągnąć go, a film mydlany oszklający drut ułoży się na powierzchni o najmniejszym możliwym obszarze dla danego obworu. Ten fakt fizyczny definiuje powierzchnię minimalną matematycznie: w każdym punkcie jej średnie wypuklenie – czyli średnia z tego, jak bardzo powierzchnia łukiem w dwóch prostopadłych kierunkach – wynosi dokładnie zero. Sfera wypycha się na zewnątrz w ten sam sposób we wszystkich kierunkach i ma duże, jednorodne dodatnie wypuklenie; minimalna powierzchnia zamiast tego zakrzywia się ku górze w jednym kierunku dokładnie tak bardzo, jak zakrzywa się w dół w prostopadłym kierunku, jak siedzisko, więc oba efekty zawsze zniweluje.

Trzykrotnie okresłowe: pokrywanie przestrzeni

Najbardziej zredukowane powierzchnie rozciągające się na pętli przewodowej to pojedyncze kształty. Powierzchnia trzykrotnie okresłowa (TPS) jest specjalnym, znacznie rzadszym rodzajem: powtarza się w każdym kierunku przestrzennych, pokrywając nieskończoną przestrzeń tak jak krystaliczna struktura, a jednocześnie pozostaje minimalna (zero średniego krzywizny) w każdym punkcie. TPS dzieli przestrzeń dokładnie na dwa wzajemnie przenikające labirynty, oba połączone i kongruentne ze sobą dla najbardziej symetrycznych przykładów, i żaden z nich nie dotyka drugiego poza dzielącą powierzchnię. Ponieważ powierzchnia jest gładka i kształt podłużny wszędzie, a każdy labirynt przecina przestrzeń bez martwych końców, geometria TPS ma wyjątkowo dużą powierzchnię pakowaną w kompaktową, powtarzalną komórkę jednostkową.

Równania: Schwarz P, Diament, Neowius, Gyroid

Najbardziej znane rodziny TPMS definiowane są przez zaskakująco proste równania implikowane: wybierz poziom (izolinie) funkcji trygonometrycznej z x, y i z, a otrzymana powierzchnia jest minimalna lub bardzo bliska minimalnej, niemal wprost dzięki temu.

Schwarz P: cos(x) + cos(y) + cos(z) = t

Diament: sin(x)sin(y)sin(z) + sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) = t

Neowius: 3(cos x + cos y + cos z) + 4 cos x cos y cos z = t

// t = 0 daje powierzchnię "wyważoną"; t != 0 przesuwa i pogrubia każdy labirynt

Schwarz P (1865) i Diament (1865, oba autorstwa Hermanna Schwarza) mają po jednym płaszczyźnie symetrii lustrzanej, która przebiega przez nie, widocznej jako proste linie, gdzie powierzchnia spotyka się z pewnymi przekrojami. Gyroid, odkryty przez Alana Schoen w 1970 roku podczas pracy dla NASA nad lekkimi materiałami konstrukcyjnymi, jest inny: nie zawiera żadnych prostych linii ani płaszczyzn symetrii lustrzanej. Każdy punkt na Gyroide znajduje się na ścieżce helisy, która ciągle skręca w przestrzeni, dając powierzchni charakterystyczny, chiralityczny, wirujący wygląd, który nigdzie nie ma płaskiej podstawy — jego własne odbicie nie może być obrócone, aby pasowało do oryginalnego, dokładnie tak jak lewa ręka nie może być obrócona, aby pasowała do prawej.

Schwarz P:   cos(x) + cos(y) + cos(z) = t

Diamond:     sin(x)sin(y)sin(z) + sin(x)cos(y)cos(z)
             + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) = t

Gyroid:      sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x) = t

Neovius:     3(cos x + cos y + cos z) + 4 cos x cos y cos z = t

// t = 0 gives the "balanced" surface; t != 0 shifts and thickens each labyrinth

Rendowanie tego: kroki w chłoniącym się sześcianie

Żadne z tych równań nie opisuje bezpośrednio siatki trójkątów — definiują one implicitną powierzchnię, zbiór punktów, gdzie funkcja jest równa stałej, dokładnie tak jak poziom na mapie konturowej, ale w trzech wymiarach. Aby ją narysować, symulacja wykorzystuje kroki w chłoniącym się sześcianie: podziel przestrzeń na drobne sześciany, oceń funkcję implicitną w każdym z ośmiu narożników każdego sześciana i tam, gdzie niektóre narożniki znajdują się powyżej wartości izotropy, a inne poniżej niej, powierzchnia musi przechodzić przez ten sześcian. Tablica wyszukiwania 256 możliwych wzorców znaków na kątach ośmiu narożników sześciana (zredukowana do 15 unikalnych przypadków ze względu na symetrię) mówi algorytmowi dokładnie, które trójkąty wygenerować, a liniowa interpolacja wzdłuż przeciętego krawędzi umieszcza ich wierzchołki dokładnie tam, gdzie funkcja implicitna rzeczywiście równa się wartości izotropy.

dla każdego sześciana na siatce: znakKąta[8] = znak(f(x,y,z) - wartośćIzotropy) w każdym z 8 kątów przypadek = maskaBitowa znaków 8 znaków // 0..255 trójkąty = tabelaWyszukiwania[przypadek] // od 0 do 4 trójkątów dla każdego trójkąta: umieść wierzchołki przez liniową interpolację wzdłuż przeciętego krawędzi sześciana Rozdzielczość siatki jest głównym pokrętłem jakości: gruba siatka produkuje widocznie płytką, o niskiej liczbie poligonów aproksymację, szczególnie w ściśle zakrzywionych obszarach, gdzie prawdziwa powierzchnia najszybciej się wygina, a drobna siatka odzyskuje gładki wygląd siatki kosztem wielu więcej trójkątów i wolniejszego przejścia przez kroki w chłoniącym się sześcianie — bezpośredni powód, dla którego symulacja ujawnia rozdzielczość jako parametr regulowany zamiast ustalić go na stałe.

for each cube in the grid:
  cornerSign[8] = sign(f(x,y,z) - isovalue)  at each of the 8 corners
  case = bitmask of the 8 signs               // 0..255
  triangles = lookupTable[case]                // 0 to 4 triangles
  for each triangle:
    place vertices by linear interpolation along the crossed cube edges

Dlaczego natura i inżynieria nieustannie go wykorzystują

Systemy TPMS rozwiązują problem, który pojawia się ponownie i ponownie wszędzie tam, gdzie potrzebne jest duże pole powierzchni, sieci oddzielone, ale ze sobą splątane, oraz efektywność strukturalna, wszystko to zamknięte w niewielkim wolumencie. Skale niektórych motyli, w tym pewnych gatunków Callophrys, tworzą naturalny, żyłkowany wzór Gyroid z chityny, który wytwarza ich tęczową barwę bez pigmentu. Niektóre kopolimery samorozkładają się na domeny przypominające Gyroid podczas fazowego rozdzielania, właściwość wykorzystywana w membranach filtracyjnych i badaniach nad elektrodami akumulatorowymi, gdzie dwie labirynty mogą przenosić dwa różne fazy, takie jak elektrolit i materiał elektrody, z ogromnym współczynnikiem powierzchni między nimi i bez martwych punktów. Wzory Gyroid stały się również podstawowym elementem druku 3D lekkich struktur, ponieważ gładka, połączona, matematycznie zdefiniowana geometria unika koncentracji naprężeń, które cierpią struktury o ostrych krawędziach, a jednocześnie osiąga bardzo wysokowykład stosunek wytrzymałości do wagi.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Gyroid & Minimal Surfaces i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.