Równania Naviera-Stokesa — Matematyka przepływu cieczy

Druga zasada Newtona, napisana dla cieczy

Zaapprymitujmy ciecz jako ciągły medium — prawdziwe na skalach znacznie większych niż średnia droga wolna cząsteczek powietrza o około 70 nm — a równania Naviera-Stoksa niekompressybilne są prosto drugą zasadą Newtona zastosowaną do paczki cieczy: ρ(∂u/∂t + u·∇u) = −∇P + μ∇²u + f, towarzyszącego równaniu ciągłości ∇·u = 0, które stwierdza, że ciecz ani nie jest tworzona, ani nie zniszczona. Każdy wyraz pełni jasne zadanie: przyspieszenie lokalne, nieliniowy wyraz adwekcji u·∇u, który jest źródłem większości złożoności, siła spadku ciśnienia, dyfuzja lepkoskoczna i siły ciała, takie jak grawitacja. Zaniesienie pochodnej czasowej i adwekcji do pochodnej materiałowej D/Dt spowoduje, że równanie będzie mieć prostszy wygląd: ρ Du/Dt = −∇P + μ∇²u + f — masa razy przyspieszenie jest równe siła netto.

Liczba Reynoldsa: jedna proporcja wyjaśnia chaos

W 1883 roku Osborne Reynolds wprowadził kolorant do przepływu w rurze i zauważył nagle przejście od prostej linii prądowej do chaotycznego mieszania, gdy prędkość wzrosła. Kontrolującym parametrem jest liczba Reynoldsa Re = ρUL/μ = UL/ν, która jest proporcją sił inertialnych (które utrzymują ruch i przyspieszają wiry) do sił lepkich (które tłumią perturbacje). Poniżej około Re ≈ 2300 przepływ w rurze pozostaje lamiarowy; powyżej około 4000 jest całkowicie turbulentny. Przykłady codzienne rozszerzają się na ogromną skalę: baktera zaczątkują płynąć przy Re ~ 10⁻⁴, gdzie lepkość dominuje i zatrzymywanie się następuje natychmiastowo; skrzydło samolotu pasażerskiego działa wokół Re ~ 10⁷–10⁸; a przepływy oceaniczne osiągają Re ~ 10¹⁰.

Re = ρUL/μ = UL/ν
Kolmogorov microscale:  η = (ν³/ε)^(1/4)
Energy spectrum (inertial subrange):  E(k) ∝ ε^(2/3) · k^(−5/3)

Kaskada Kolmogorowa i odseparowanie warstwy brzegowej

Turbynoza wygląda na przypadkową, ale ma precyzyjną architekturę statystyczną. Teoria kaskadowa Andreja Kolmogorowa z 1941 roku przedstawia duży komórkowy ruch, wprowadzany na skalę całkowitą, rozkładający się w coraz mniejsze, przekazywane energię w dół bez straty aż do osiągnięcia mikroskalę Kolmogorowa η = (ν³/ε)^(1/4), gdzie lepkość konwersji kinetycznej energii na ciepło. W podprzecinie inertialnym między tymi skalami, spektrum energii obserwuje sławny zasada potęgi −5/3, zweryfikowany w każdym zakresie od tuneli wiatrowych do danych na temat wiatru słonecznego. Oddzielnie, przy wysokich liczbach Reynolds'a efekt lepkości jest ograniczony do cienkiej warstwy brzegowej blisko powierzchni twardych (Ludwig Prandtl, 1904); gdy ciśnienie wzrasta w kierunku przepływu, ta warstwa może odwrócić się i odseparować od powierzchni, tworząc obszar recyklacji i skok oporu — mechanizm założenia zatrzymania skrzydeł lotniczych i dlaczego kuli do gry mają bruzdy, które przewracają warstwę brzegową wczesniej, aby opóźnić odseparowanie.

Million-dolarna otwarta kwestia

W 2000 roku Instytut Matematyczny Clay nazwał problem istnienia i gładkości równań Navier-Stokes jednym z siedmiu Problemów Miłennium, każdy dotychczas oceniony w milion dolarów — a do dziś nie zostało ono rozwiązane. Pytanie brzmi: podaną jako gładka początkową warunek, istnieją gładkie rozwiązania 3D dla wszystkich przyszłych czasów, czy termine adwersji nieliniowej mogą skoncentrować energię w struktury o nieprzejednostronnej ciepłości szybciej niż viskozność rozprasza ją, prowadząc do wybuchu w skończonym czasie? W dwuwymiarowym przypadku gładka globalna istotność jest udowodniona; w trójwymiarowym jest ona rzeczywiście otwarta, nawet jeśli istnieje lokalne istnienie na krótki czas (Leray, 1934) oraz słabsze rozwiązania "Leray-Hopf" globalne bez gwarancji jednoznaczności ani gładkości. W praktyce to nie przeszkadza inżynierom: Metody CFD (metoda objętości skończonych, różnic skończonych, spektralne i metody lattic-Boltzmana) rozwiązują równania numerycznie codziennie, modelując turbulencję za pomocą DNS, Simulacji Edei Wielkich lub roboczyjnego narzędzia RANS — nie rozwiązane jest jedynie pytanie, czy dokładne równania, podawane w literałach, mogłyby kiedykolwiek zachowywać się niespodziewanie.

Często zadawane pytania