Elastyczne zderzenia i kinetyczna teoria gazów |… |…

Dwa prawa zachowania, jedno przewidywalny rezultat

Zderzenie sprężyste to takie, w którym dwa ciała odpychają się wzajemnie, przy jednoczesnym zachowaniu zarówno pędu całkowitego, jak i energii kinetycznej całkowitej. Zachowanie pędu samo w sobie obowiązuje we wszystkich zderzeniach bez oddziaływania sił zewnętrznych – dodatkowe zachowanie energii kinetycznej sprawia, że zderzenie sprężyste jest wyjątkowe i całkowicie determinuje rezultat na podstawie mas i prędkości początkowych. Rozwiązanie dwóch równań zachowania pędu i energii kinetycznej w przypadku zderzenia jednowymiarowego, frontalnego między masami m₁ i m₂ poruszającymi się z u₁ i u₂, pozwala bezpośrednio obliczyć prędkości po zderzeniu.

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂                           (momentum)
½m₁u₁² + ½m₂u₂² = ½m₁v₁² + ½m₂v₂²                    (kinetic energy)

v₁ = ((m₁ − m₂)/(m₁ + m₂))·u₁ + (2m₂/(m₁ + m₂))·u₂

Special case m₁ = m₂:  v₁ = u₂, v₂ = u₁  (velocities simply swap)

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Od bilardowych kulek do ciśnienia gazu

Teoria kinetyczna gazów modeluje gaz jako ogromną liczbę małych cząstek uderzających się elastycznie ze sobą i z ściankami naczynia, a niczego więcej. Ponieważ każde uderzenie zachowuje energię kinetyczną, gaz nigdy nie traci wewnętrznej energii samodzielnie – może utrzymać stałą temperaturę bez końca. Ciśnienie wynika bezpośrednio z tego obrazu: każdy elastyczny odbijanie się od ściany odwraca moment pędowy cząstki prostopadły do kierunku, dostarczając małe podciśnienie, a sumowanie tych podciśnień na astronomicznie dużej liczbie uderzeń na sekundę generuje stałe ciśnienie, które odczytuje się manometrem. Zmniejsz naczynie, a cząstki będą częściej uderzać w ściany – prawo Boyle’a wynika bezpośrednio z mechaniki.

Temperatura jest średnia energią kinetyczną

Teoria kinetyczna wiąże temperaturę bezpośrednio z ruchem cząsteczek: średnia energia kinetyczna translacyjna cząsteczki jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej, ½m = (3/2)kBT. Cząsteczki jednak nie poruszają się ze stałą prędkością – powtarzające się losowe zderzenia sprężyste naturalnie produkują rozkład prędkości opisany przez rozkład Maxwella-Boltzmanna, w którym wiele cząsteczek porusza się z umiarkowaną prędkością, a ogon rozciąga się do szybszych wartości. Ten statystyczny rozrzut leży u podstaw zjawisk takich jak parowanie i tempo reakcji chemicznych, oraz to właśnie on, przy dużej populacji elastycznie zderzających się cząstek, jest obserwowany przez czas.

Frequently asked questions

Co sprawia, że zderzenie jest sprężyste, a nie tylko zachowuje pęd?

Co odróżnia zderzenie sprężyste od innych, to fakt, że energia kinetyczna całkowita również jest zachowywana – nie ma energii zamienionej na ciepło, dźwięk lub trwałe odkształcenia, co czyni wynik w pełni przewidywalnym tylko na podstawie mas i prędkości początkowych.

Dlaczego cząstki o równej masie po prostu zamieniają się prędkościami w zderzeniu frontalnym?

Rozwiązanie równań zachowania pędu i energii kinetycznej dla m1 = m2 prowadzi do tego, że końcowa prędkość każdej cząstki jest równa początkowej prędkości drugiej cząstki. Jest to dokładnie to, co dzieje się na planszy bilardowej, gdy poruszająca się kula uderza frontalnie w nieruchomą: poruszająca się kula zatrzymuje się, a uderzona kula odrywa się z pierwotną prędkością.

Jak zderzenia sprężyste między cząsteczkami wytwarzają ciśnienie gazu?

Ciśnienie to kumulowany efekt niezliczonej liczby cząstek uderzających w ściany pojemnika sprętnie. Każde uderzenie odwraca pęd cząstki prostopadle do ściany, dostarczając mały impuls; sumarycznie, dla astronomicznie dużej liczby uderzeń na sekundę, te impulsy składają się na stałe ciśnienie odczytywane przez manometr.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację the simulation