Filtry FIR i IIR: Wykresy Bode'a, Bieguny i Zera

Dwie rodziny, jedno zadanie: kształtuj spektrum

Cyfrowy filtr przetwarza sekwencję próbek i generuje nową sekwencję, której zawartość częstotliwości została ukształtowana – tłumiąc niektóre częstotliwości, przepuszczając inne. Każdy liniowy czasowo niezmienniczy filtr cyfrowy należy do jednej z dwóch rodzin: FIR (ograniczony impuls odpowiedzi) i IIR (nieskończony impuls odpowiedzi). Filtry FIR obliczają każdy wynikowy próg jako ważoną sumę stałego zestawu poprzednich wejść:

y[n] = b0·x[n] + b1·x[n-1] + ... + bM·x[n-M] // FIR: tylko wsteczna propagacja demo na żywo · analiza sygnału, wykres Bode'a i wykres polowy-zerowy aktualizują się w czasie rzeczywistym● LIVE Filtry IIR (nieskończony impuls odpowiedzi) dodają sprzężenie zwrotne – każdy wynik również zależy od poprzednich wyników:

y[n] = b0·x[n] + b1·x[n-1] + ... - a1·y[n-1] - a2·y[n-2] - ... // IIR: sprzężenie zwrotne Ten termin sprzężenia zwrotnego jest miniaturą całej kompromisu. Filtr IIR może osiągnąć ostre charakterystyki częstotliwościowe przy stosunkowo niewielu współczynnikach, ponieważ sprzężenie zwrotne pozwala krótkiej historii wejściowej wygenerować odpowiedź, która w zasadzie nigdy nie zanika – stąd termin 'nieskończony impuls odpowiedzi'. Filtr FIR potrzebuje znacznie więcej tapów, aby osiągnąć tę samą ostrość, ale w zamian jest bezwarunkowo stabilny (suma skończona skończonych liczb nie może się wybić) i może być dokładnie liniowy-fazowy, co filtr IIR ze sprzężeniem zwrotnym generalnie nie może.

y[n] = b0·x[n] + b1·x[n-1] + ... + bM·x[n-M]        // FIR: feedforward only

Dlaczego faza liniowa ma znaczenie

Filtrem o fazie liniowej jest ten, w którym przesunięcie fazowe jest proporcjonalne do częstotliwości – co oznacza, że każda częstotliwość jest opóźniona o tę samą ilość czasu. Odchodząc od tego – zniekształcenia fazy – rozmazują ostry brzeg sygnału (np. impuls, transjent muzyczny, symbol QAM), ponieważ jego różne składniki częstotliwości dochodzą do siebie w nieco różnych momentach i nie sumują się już z powrotem w oryginalny kształt, nawet jeśli odpowiedź na amplitudę jest idealna. Filtry FIR osiągają dokładną fazę liniową bez kosztów poprzez symetryzowanie sekwencji współczynników (b_k = b_(M-k)); filtry IIR nie mogą tego zrobić ogólnie, ponieważ ścieżka sprzężenia zwrotnego sprawia, że odpowiedź na fazę jest funkcją nieliniową częstotliwości z powodu konstrukcji.

Klasyczne projekty IIR: Butterwortha, Czebyszewa, eliptyczne

Teoria filtrów analogowych mapuje się bezpośrednio na projektowanie IIR poprzez transformację bilinearową. Filtry Butterwortha są 'maksymalnie płaskie' w paśmie przechodzącym – bez wybrzuszeń, kosztem stosunkowo łagodnego spadku dla danego rzędu. Filtry Czebyszewa handlują pewnymi wybrzuszeniami w paśmie przechodzącym (Typ I) lub pasmo tłumiącym (Typ II) za ostrożniejszy przejściowy charakter przy tym samym rzędzie. Filtry eliptyczne (Cauer) pozwalają na wybrzuszenia w obu pasmach i osiągają najbardziej stromy możliwy spadek dla danego rzędu – najostrzejsze pasmo tłumiące na jednostkę, ale najgorsze zachowanie fazowe i najbardziej wrażliwe współczynniki.

Stany, pierwiastki i interpretacja wykresu Bode’a

Zachowanie filtra w pełni opisane jest przez jego funkcję transferową H(z), czyli iloraz wielomianów w zmiennej z, których pierwiastki są stanami (pierwiastki licznika, gdzie odpowiedź staje się równa zero) i polami (pierwiastki mianownika, gdzie odpowiedź dzałaby na nieskończoność). Pola muszą znajdować się ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego w płaszczyźnie z, aby filtr był stabilny – pole poza lub na tym okręgu oznacza nieograniczony, eksplodujący wynik dla skończonego wejścia. Filtry FIR, które nie posiadają mianownika, nie mają żadnych pol — wszystkie pola znajdują się w punkcie zerowym, co jest podstawową przyczyną, dla której nie mogą być niestabilne. Amplituda i faza odpowiedzi widoczna na wykresie Bode’a to dokładnie H(z) obliczone wokół okręgu jednostkowego, z = e^(jω): im bliżej pole znajduje się okręgu jednostkowego pod danym kątem, tym ostřej niż szczyt rezonansowy widać w odpowiedzi częstotliwościowej przy tej częstotliwości.

H(z) = ( b0 + b1·z⁻¹ + ... + bM·z⁻ᴹ ) / ( 1 + a1·z⁻¹ + ... + aN·z⁻ᴺ )
  zeros: roots of numerator      poles: roots of denominator
  stable  ⇔  all poles satisfy |z| < 1

Wycięta sincz: skrót dla projektanta FIR

Idealny filtr dolnoprzepustowy typu murarski ma odpowiedź impulsowa postaci nieskończonej funkcji sincz, sin(πn·fc)/(πn) — niemożliwy do bezpośredniego zaimplementowania, ponieważ jest zarówno nieskończony, jak i niecałkowity. Metoda wyciętej sincz ogranicza tę funkcję sincz do skończonej długości i mnoży ją przez opadający okiennik (Hamming, Hann, Blackman) w celu tłumienia rezonansu (fenomenu Gibbs), który spowodowałbyłaby nagła przycinanie w paśmie stopnicowym. Okiennik stanowi bezpośrednią kompromis: szersza główna wiązka (gorszy kąt nachylenia przejścia) zapewnia niższe boki obniżone (lepsze tłumienie paśma stopnicowego) — Hamming i Blackman zajmują różne punkty na tym kompromsie, dlatego wybór okiennika jest również decyzją projektową, a nie dodatkową czynnością.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Digital Filter (FIR/IIR) i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.