Warunkowa prawdopodobieństwo i niezależność wyjaśnione

Definicja warunkowej prawdopodobieństwa

Warunkowe prawdopodobieństwo odpowiada na bardzo konkretne pytanie: pod warunkiem, że znamy już, że zdarzenie B nastąpiło, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A? Jest ono zapisywane jako P(A | B), czytane jako „prawdopodobieństwo A pod warunkiem B”, i jest zdefiniowane jako

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), przy założeniu, że P(B) > 0.

Intuicja polega na zredukowaniu przestrzeni próbowej. Gdy wiemy, że B nastąpiło, każda sytuacja poza B staje się niemożliwa, więc B efektywnie staje się nowym uniwersum. Prawdopodobieństwo A pod warunkiem B to wtedy tylko ujemna część tego nowego, mniejszego uniwersumu, w której A nadal zajmuje miejsce — przekładanie się na obszar A ∩ B, skaliowane tak, aby B miało prawdopodobieństwo 1. To skalowanie jest powodem dla dzielenia przez P(B): bez niego liczby już by nie sumowały się do 1 w nowej zmniejszonej przestrzeni próbowej.

Zasada mnożenia i drzewa prawdopodobieństwa

Przekształcenie definicji daje zasadę mnożenia: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B) = P(B | A) · P(A). Jest to podstawowy element założony za drzewa prawdopodobieństwa dla sekwencyjnych doświadczeń. Narysuj gałęzie pierwszego poziomu dla każdego wyniku pierwszego zdarzenia, etykietując je prawdopodobieństwem niezależnym, a następnie narysuj gałęzie drugiego poziomu etykietowane prawdopodobieństwami drugiego zdarzenia pod warunkiem pierwszego. Mnożenie wartości prawdopodobieństw longi od korzenia do liścia daje wspólny wynik prawdopodobieństwa dla danej sekwencji wyników, a ponieważ drzewo uwzględnia każdą możliwą ścieżkę, sumy prawdopodobieństw liści zawsze wynoszą 1.

To rozszerza się naturalnie na więcej niż dwa poziomy za pomocą zasadyłałała: P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) · P(A2 | A1) · P(A3 | A1 ∩ A2) · ... · P(An | A1 ∩ ... ∩ An-1). Karty wylosowane bez zwracania jest klasycznym przykładem: prawdopodobieństwo zrzucenia trzech asów w rzędzie z standardowej talii wynosi (4/52) · (3/51) · (2/50), ponieważ każda losowanie zmienia skład tali i zatem warunkowe prawdopodobieństwo następnego zdarzenia.

Niezależność: silne założenie w strogim ujęciu

Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli znane wykonanie jednego nie informuje nas o innym: formalnie, P(A | B) = P(A), co algebraicznie jest równoważne bardziej symetrycznemu warunkowi P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Drugi z tych form jest stosowany prawie zawsze w praktyce, ponieważ działa nawet wtedy, gdy P(B) = 0, gdzie definicja warunkowa byś spowodowała dzielenie przez zero.

Niezależność to znacznie silniejsza przyhlądność niż ludzie intuicyjnie traktują ją. Dwa kolejne rzuty sześciennym kostką są niezależne, ponieważ kula nie ma pamięci. Ale większość „coincidence” rzeczywistego świata, które ludzie nazywają niezależnymi, w rzeczywistości nie jest taka: czy pada dzisiaj zależy od systemów pogodowych, a czy pada jutro; wyniki egzaminów dwóch studentów są związane z jakością nauczania; dziennych zwrotów dwoch akcji są związani z wspólnym rynek i sektor. Traktowanie zdarzeń związanych jako niezależnych jest jednym z najbardziej konsekwentnych błędów modelowania w finansach i zarządzaniu ryzykiem — była to jedna z kluczowych technicznych błędu za tyłem niewłaściwej oceny obligacji hipotecznych przed kryzysem finansowym 2008 roku, gdzie prawdopodobieństwa domyślności w różnych obligacjach hipotecznych modelowane były znacznie bardziej niezależne niż rzeczywiście byłyby.

Parowa niezależność to coś innego niż wzajemna niezależność

Subtelność, która zaskakuje nawet ostrożnych studentów: trzy lub więcej zdarzeń mogą być w pary niezależne (każda para spełnia P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj)), bez being wzajemnie niezależne (co wymaga dodatkowo, że P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C), i podobnego warunku iloczynowego dla każdego podzbioru). Standardowy przykład z podręcznika: rzucamy dwiema szesciankami, A oznacza „pierwszy sześcienny wypada orzeł”, B „drugi sześcienny wypada orzeł” i C „dwie kostki pokazują takie same wyniki”. Każda para zmiennych A, B, C jest niezależna, ale jak tylko znamy dwa z nich, trzecia jest całkowicie wyznaczona — więc trzy zdarzenia razem nie są wzajemnie niezależne. To ma znaczenie w statystyce, ponieważ wiele wzorcow (np. wariancja sumy) poprawnie uproszcza się tylko przy pełnej założeniu wzajemnej niezależności, a nie tylko parowej niezależności.

Gdzie błędy rozumowania warunkowego występują w praktyce

Dwa znanie streszczenia kogitywne wynikają bezpośrednio z zamieszania P(A | B) z P(B | A) — dwóch ilości, które są powiązane przez twierdzenie Bayesa, ale nie są w ogólności równe. Błąd prokuratora występuje, gdy bardzo mała wartość P(dowód | niewinność) jest przedstawiana jako (znacznie bardziej istotna i często bardzo różniaca się) P(niewinność | dowód). Porównanie DNA o prawdopodobieństwie przypadkowego dopasowania 1 do miliona nie oznacza, że ma tylko 1 do miliona szans na to, że oskarżony jest niewinny; ta wniosek zależy również od liczby osób, które mogły być przetestowane i od wcześniejszych dowodów w sprawie.

Ignorowanie stopnia podstawowego polega na tym, że ignoruje się, jak często czy rzadko zdarzenie występuje w ogólnej populacji, przy ocenie prawdopodobieństwa warunkowego. Ten wzorzec jest dokładnie rozważany w kontekście testów medycznych pod twierdzeniem Bayesa. Oba błędy mają wspólną przyczynę: prawdopodobieństwo warunkowe jest kierunkowe, a odwracanie kierunku bez wykonania rzeczywistej obliczania prawie nigdy nie daje poprawnej odpowiedzi.

Często zadawane pytania