Drzewo Barnskie: Fragmetyczny Drzewo z Czterech Rzutów Monety

Orzeł z czterech rzutów monetą

Jęziorko orzeł, opublikowany przez matematyka Michaela Barnsley'a w 1988 roku, jest przykładem, że skomplikowaną, naturalnie wyglądającą się formę można zakodować w niewielkiej liczbie liczb. Jest to system funkcji iterowanych (IFS): zbiór transformacji afinicznych – każda z nich kombinacja skalowania, obrotu i translacji – stosowany wielokrotnie do jednego punktu, a transformacja wybierana losowo na każdym kroku zgodnie z ustaloną prawdopodobieństwem.

each transform: x' = a*x + b*y + e
                y' = c*x + d*y + f

f1 (1% chance)  -- stem:            maps everything to a thin vertical line
f2 (85% chance) -- successive leaflets: main self-similar copy, slightly shrunk & rotated
f3 (7% chance)  -- largest left leaflet
f4 (7% chance)  -- largest right leaflet

Gra Chaosu

Uruchamianie IFS-u w ten sposób nazywa się Grą Chaosu: zacznij gdziekolwiek (punkt początkowy działa dobrze), następnie powtarzaj w nieskończoność – wybierz jedną z czterech transformacji losowo, używając przypisanej przez siebie wartości prawdopodobieństwa, zastosuj ją do bieżącej pozycji, aby uzyskać nową pozycję, narysuj ją i powtórz od nowej pozycji. Indywidualnie każdy krok wygląda na szum; punkt nieprzewidywalnie skacze wokół płaszczyzny. Ale po kilku tysiącach iteracji z mgły wyłania się szokująco precyzyjna fronda. To jest definiujący trik Gry Chaosu: losowość w wyborze reguły, a determinizm w geometrii, do której ona zbiega. Atractor IFS – stała forma, na którą rysowany jest orbit – nie zależy od punktu początkowego ani od dokładnej kolejności losowych wyborów, tylko od czterech transformacji i ich relatywnych skal.

Dlaczego prawdopodobieństwa są ważone, a nie równe

Podział 1/85/7/7 wydaje się arbitralny, ale został celowo wybrany, aby odzwierciedlić powierzchnię, na którą każda transformacja mapuje się w stosunku do całej frędzli. f2 (mapa generująca liście) pokrywa zdecydowanie największą część powierzchni frędzli, więc musi być wybierana znacznie częściej niż f1, która nigdy nie rysuje cienkiej łodygi, w przeciwnym razie łodyga byłaby rysowana tysiące razy bardziej gęsto niż powinno to być w stosunku do liści i odwzorowanie gęstości by nie oddawało kształtu. Formalnie, ważenie każdej transformacji prawdopodobieństwem (mniej więcej) wyznacznika jej części liniowej – czynnika skalującego powierzchnię – jest tym, co powoduje, że gęstość punktów zbiega się z naturalnej, niezmiennego rozkładu frędzli zamiast arbitralnie obciążonego.

Podobienstwo: dlaczego w ogóle przypomina pnączu filipińską?

Transformacja f2 jest przyczyną, dla której kształt przypomina prawdziwe pnącze filipińskie: jej zastosowanie mapuje całe pnącze na jedną z jego łodyg, nieco mniejszą i obróconą. Ta łodyg również jest skalowalnym odwzorowaniem całego pnącza, a w konsekwencji budowana jest z kopii mniejszych łodyg, co powoduje powtarzanie się struktury na każdym poziomie – właściwości definiującej fraktal. Prawdziwe pnącza filipińskie wykazują echo tego zjawiska, ponieważ ich wzrost również jest regulowany przez powtarzalne, podobieństwo strukturalne w poziomie rosnącego merystemu, choć wzrost biologiczny dodaje ograniczeń (światło, składniki odżywcze, grawitacja), których idealizowane IFS nie uwzględnia; matematyczne pnącze to karykatura procesu wzrostu, a nie dosłowne jego modelowanie.

Renderowanie: dlaczego miliony punktów, a nie jeden duży transfer

Każda iteracja kosztuje tylko jedno mnożenie macierzy przez wektor i jedno losowanie, dzięki czemu nowoczesny przeglądarka może wykreślać setki tysięcy punktów na sekundę. Szczegół poprawia się wyłącznie poprzez dłuższe działanie – nie ma oddzielnego transferu dopracowania, siatki ani głębokości rekursji do rozważenia, ponieważ cały fraktal jest zdefiniowany implicyjnie przez statystyki długotrwałego ruchu losowego, a nie przez jawną konstrukcję rekurencyjną. Jest to również powód, dla którego renderowanie IFS stanowi zupełnie inną gatunkową specyficzną niż kolorowanie czasu ucieczki używane do zbioru Mandelbrota: tam każdy piksel jest testowany niezależnie przeciwko ustalonej iteracji; tu ten sam pojedynczy trajektorja maluje każdy piksel, jeden po drugim, a obraz tylko zbiega się w miarę gromadzenia się historii trajektorji.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Barnsley Fern i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.