🚦 Predittore di Congestione del Traffico — Filtro di Kalman dal Vivo

Il filtro mantiene una stima dello stato — qui, la velocità stradale e la sua tendenza a breve termine — più una matrice di covarianza che descrive quanto è incerta quella stima. A ogni tick esegue un passo di predizione: lo stato viene estrapolato in avanti con un semplice modello di moto (x⁻ = Fx) e la covarianza cresce per riflettere il rumore di processo (P⁻ = FPFᵀ + Q). Quando arriva una nuova lettura rumorosa del sensore, un passo di aggiornamento calcola il guadagno di Kalman K = P⁻Hᵀ(HP⁻Hᵀ + R)⁻¹, sposta lo stato verso la misura di K volte l'innovazione, e riduce la covarianza. Il guadagno bilancia automaticamente la fiducia tra il modello e il sensore in base alle rispettive incertezze — non è un fattore di smorzamento fisso.

Q è l'intensità del rumore di processo assunta dal filtro: stabilisce quanto lo stato può derivare tra una misura e l'altra durante il passo di predizione, facendo crescere la matrice di covarianza P di una quantità derivata da un modello discretizzato di accelerazione a rumore bianco. Un Q maggiore rende il filtro più reattivo ma più rumoroso. R è la varianza del rumore di misura assunta, legata alla deviazione standard reale del rumore del sensore simulato. Un R maggiore rende più piccolo il guadagno di Kalman, quindi ogni nuova lettura sposta meno la stima perché il filtro si fida più della propria predizione che di un sensore rumoroso.

Il passo di predizione aggiunge la covarianza di rumore di processo Q a P a ogni tick, quindi la varianza della stima di velocità aumenta rigorosamente finché non arriva nuova informazione. Il passo di aggiornamento applica poi la formula della covarianza in forma di Joseph P = (I−KH)P⁻(I−KH)ᵀ + KRKᵀ, che garantisce matematicamente di produrre una covarianza non superiore a P⁻ ogni volta che R è positivo — la lettura del sensore, per quanto rumorosa, rimuove sempre un po' di incertezza. La lettura live di P₀₀ e la banda di confidenza rendono direttamente visibile quel motivo a dente di sega di crescita e riduzione.

Cliccando su "Interruzione del sensore" si sospendono gli aggiornamenti di misura per 8 secondi simulati, così il filtro esegue ripetutamente il passo di predizione senza alcun aggiornamento correttivo nel mezzo. Ogni passo di predizione continua ad aggiungere covarianza di rumore di processo, quindi la varianza continua ad accumularsi senza controllo e la banda di confidenza ±1σ della stima si allarga visibilmente sul grafico — esattamente ciò che mostra la proiezione tratteggiata a più passi nel prossimo futuro anche al di fuori di un'interruzione, un'illustrazione fedele della navigazione stimata.

Sì, in sostanza. I veri sistemi di trasporto intelligenti fondono letture di velocità da spire induttive, radar o sonde GPS usando filtri di Kalman o varianti simili, a volte estesi a stati vettoriali che coprono più tratti o modelli commutanti che stimano anche il regime di traffico. Questa simulazione usa il vero filtro di Kalman scalare posizione/tendenza con le equazioni standard di predizione-aggiornamento anziché uno smoother regolato a mano, quindi il guadagno, la crescita della covarianza e la sua riduzione che vedi sono reali.

Un filtro a 1 stato che traccia solo la velocità deve trattare ogni deviazione come rumore, quindi resta sempre indietro rispetto a una tendenza reale come l'accumulo nell'ora di punta o la ripresa dopo un evento di congestione. Aggiungere uno stato di tendenza permette alla matrice di transizione di stato F=[[1,dt],[0,1]] di estrapolare la velocità in avanti usando quella tendenza a ogni passo di predizione, così il filtro anticipa un'accelerazione o decelerazione continua invece di limitarsi a reagire a posteriori — la versione più semplice del modello posizione-velocità usato nel tracciamento GPS e radar.