🎱 Billard quantique — Particule dans une boîte et chaos quantique

Un billard quantique est la version quantique-mécanique d'une particule rebondissant à l'intérieur d'une cavité 2D aux parois rigides : le potentiel est nul à l'intérieur de la frontière et infini à l'extérieur, de sorte que la fonction d'onde de la particule doit s'annuler exactement aux parois. Résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps avec cette condition aux limites donne un ensemble discret de motifs d'ondes stationnaires autorisés (états propres), chacun avec sa propre énergie — cette simulation vous permet de choisir la forme de la cavité et de visualiser directement ces ondes stationnaires.

Pour un rectangle, la condition aux limites se sépare proprement en équations indépendantes en x et y, donnant la solution exacte sous forme close ψ_n,m(x,y) ∝ sin(nπx/L)·sin(mπy/L) avec énergie E_n,m = E₁(n²+m²). Les géométries du cercle, du stade et du triangle dans cette simulation n'ont généralement pas de solutions séparables aussi simples, de sorte que le code dessine à la place des fonctions de mode simplifiées et masquées qui reproduisent le bon motif nodal qualitatif plutôt que les états propres numériquement exacts que l'on obtiendrait en résolvant le problème aux limites sur un ordinateur.

Le mode Classique remplace la fonction d'onde par une seule particule ponctuelle lancée selon un angle défini par les valeurs actuelles de n_x, n_y, puis trace 3000 rebonds en ligne droite sur la paroi de la cavité en utilisant la réflexion spéculaire. Comparer cela à l'image quantique est l'objet même de la recherche sur les billards quantiques : dans le rectangle ou le cercle, la trajectoire reste sur un motif répétitif simple (mouvement intégrable), mais dans le stade de Bunimovich, elle erre de façon imprévisible et finit par couvrir toute la cavité (mouvement chaotique) même si la forme paraît presque aussi simple qu'un rectangle.

Le chaos quantique est l'étude du comportement des systèmes quantiques lorsque leur équivalent classique est chaotique, puisque l'équation de Schrödinger elle-même est linéaire et ne peut littéralement pas être chaotique. Le stade de Bunimovich est l'exemple classique : ses trajectoires classiques sont exponentiellement sensibles aux conditions initiales, et ses niveaux d'énergie quantiques se repoussent statistiquement de la même manière que les valeurs propres de matrices aléatoires (ensembles GOE/GUE), contrairement au spectre régulier et non répulsif du rectangle ou du cercle intégrable.

Le scarring, découvert par Eric Heller en 1984, désigne certains états propres d'un billard chaotique (comme le stade) qui concentrent de façon inattendue une densité de probabilité supplémentaire le long du chemin d'une orbite périodique classique instable, au lieu de se répartir uniformément à travers la cavité comme le prédirait la théorie quantique-ergodique naïve. Cela montre que même dans un système entièrement chaotique, le « fantôme » de chemins classiques périodiques simples peut laisser une empreinte visible sur des fonctions d'onde quantiques individuelles.