📊 Théorème Central Limite

La variance de population σ² décrit à quel point les observations individuelles sont dispersées autour de la moyenne de la population. L'erreur standard σ/√n décrit à quel point les moyennes d'échantillons sont dispersées — elle est bien plus petite car faire la moyenne de n valeurs « annule » une partie de la variabilité individuelle. Confondre les deux est une erreur statistique courante : les sondages citent l'erreur standard de leur enquête, pas la dispersion des opinions individuelles.

Oui. Les distributions à variance infinie (comme la distribution de Cauchy, ou les distributions à loi de puissance à queue lourde avec un exposant ≤ 2) ne satisfont pas les conditions du TCL. Pour des variables distribuées selon Cauchy, quel que soit le nombre que vous moyennez, la moyenne d'échantillon suit la même distribution de Cauchy — elle ne converge jamais vers la normale. Les rendements financiers lors des krachs boursiers présentent parfois de telles queues lourdes, ce qui explique pourquoi les modèles de risque à distribution normale peuvent sous-estimer catastrophiquement les pertes extrêmes.

La plupart des mesures physiques résultent de nombreuses petites erreurs additives indépendantes — imprécision des instruments, fluctuations environnementales, arrondis, etc. Selon le TCL, la somme de nombreuses petites erreurs indépendantes converge vers une distribution normale quelle que soit leur forme individuelle. C'est pourquoi les modèles d'erreur gaussiens (normaux) sont si omniprésents dans les sciences expérimentales.

La règle empirique selon laquelle une taille d'échantillon de 30 suffit pour que le TCL s'applique vient de l'expérience empirique avec des distributions unimodales modérément asymétriques. Pour une source parfaitement symétrique (comme Uniforme), n ≥ 5 donne déjà un histogramme de moyennes proche de la normale. Pour des distributions très asymétriques (comme Exponentielle), il peut falloir n ≥ 100. Dans ce simulateur, vous pouvez le vérifier directement en comparant la qualité de l'ajustement normal à différentes valeurs de n.

Le TCL justifie l'utilisation des tests z et t même lorsque la population sous-jacente n'est pas normale. Par exemple, lors de la comparaison du taux moyen de cholestérol de deux groupes, le TCL garantit que la distribution d'échantillonnage de la différence des moyennes est approximativement normale pour des échantillons suffisamment grands, ce qui rend un test z valide. Cela fait du TCL le fondement invisible de la plupart des inférences statistiques classiques.

Les tailles humaines, les résultats de tests, les erreurs de mesure et de nombreux traits biologiques suivent des distributions approximativement normales car ils résultent des effets additifs de nombreux facteurs génétiques et environnementaux indépendants. Selon le TCL, la somme de nombreuses petites contributions indépendantes — quelle que soit leur distribution individuelle — tend vers la normalité. Francis Galton a appelé cela la « loi suprême de la Déraison » lorsqu'il l'a découverte dans les années 1870.

Le simulateur calcule l'écart-type théorique de la distribution d'échantillonnage comme σ_théorie = σ/√n, puis mesure l'écart-type empirique des moyennes d'échantillons accumulées. Le pourcentage de « correspondance » est 100 % × (1 − |σ_empirique − σ_théorie| / σ_théorie), plafonné à 0 %. Une valeur proche de 100 % signifie que l'histogramme suit étroitement la prédiction du TCL ; des valeurs faibles indiquent que vous avez besoin de plus d'échantillons ou d'un n plus grand.