🌿 Dynamique des Populations — Croissance Logistique et Proie-Prédateur

La croissance logistique modélise une population qui ne peut pas croître indéfiniment car les ressources sont limitées. L'équation dN/dt = r·N·(1−N/K) se comporte d'abord comme une croissance exponentielle lorsque N est bien inférieur à K, puis ralentit à mesure que N approche K et s'arrête complètement une fois que N est égal à K. K est la capacité de charge : la taille maximale de population que l'environnement peut soutenir, représentée dans la simulation par une ligne verte en pointillés que la courbe N(t) approche mais ne franchit jamais.

Le mode Proie-Prédateur remplace l'équation logistique unique par la paire de Lotka-Volterra : dN/dt = r·N − β·N·P pour la proie et dP/dt = δ·N·P − γ·P pour le prédateur. Au lieu de se stabiliser à une capacité de charge, N et P augmentent et diminuent selon un cycle répétitif : le nombre de proies croît jusqu'à ce que les prédateurs se multiplient suffisamment pour les faire baisser, puis les prédateurs déclinent une fois les proies devenues rares, permettant aux proies de se rétablir et le cycle recommence, ce qui se traduit par une boucle fermée sur le portrait de phase plutôt qu'une ligne plate.

Bêta est le taux de prédation : la vitesse à laquelle les prédateurs retirent des proies de la population lorsque les deux interagissent. Delta est l'efficacité de conversion : l'efficacité avec laquelle chaque proie mangée se transforme en nouveau prédateur. Gamma est le taux de mortalité des prédateurs en l'absence de nourriture. Ensemble, ces trois paramètres déterminent à la fois l'amplitude de l'oscillation et la position du point d'équilibre, que la simulation calcule comme N* = gamma/delta et P* = r/bêta et marque d'un point jaune sur le portrait de phase.

Lapins seuls fixe bêta, delta et gamma à zéro afin que les prédateurs n'aient aucun effet, ne laissant qu'une croissance logistique pure vers K = 300. Lynx-Lièvre et Équilibre stable utilisent tous deux le système complet de Lotka-Volterra mais avec des constantes de taux différentes, produisant des cycles d'amplitude et de période différentes. Quasi-extinction utilise un taux de prédation élevé (bêta = 0,05) et une faible conversion (delta = 0,001), ce qui peut faire chuter la population de proies à des niveaux très bas avant de se rétablir, illustrant à quel point les populations couplées sont sensibles à leurs paramètres.

Le système de Lotka-Volterra est un oscillateur conservatif : il n'a pas de terme d'amortissement intégré, donc une fois lancées à distance du point d'équilibre N* = gamma/delta, P* = r/bêta, les populations de proies et de prédateurs orbitent indéfiniment autour de ce point au lieu de spiraler vers lui. Chaque boucle complète sur le portrait de phase correspond à un cycle complet d'expansion-effondrement dans le temps ; des boucles plus grandes signifient des variations plus importantes entre rareté et abondance pour les deux espèces.