📉 Chaos des Populations — Application Logistique et Diagramme de Bifurcation

L'application logistique est la récurrence x_n+1 = r·x_n·(1−x_n), où x est une fraction de population entre 0 et 1 et r est le taux de croissance. Pour un r faible (inférieur à environ 3,0) la population se stabilise à une valeur unique ; lorsque r dépasse 3,0 l'application commence à se dédoubler en cycles de 2, 4, 8 points et plus, et au-delà de r≈3,57 elle devient généralement chaotique, sautant de façon imprévisible entre les valeurs même si la règle qui les génère est parfaitement déterministe.

La simulation calcule λ = (1/N)·Σ ln|r(1−2x_n)| en moyennant le logarithme de la magnitude de la pente locale de l'application sur de nombreuses itérations. Un λ négatif signifie que des points de départ proches convergent au fil du temps, indiquant un comportement stable ou périodique ; λ = 0 marque un point de bifurcation où le comportement périodique est sur le point de se scinder ; et un λ positif signifie que les trajectoires proches divergent de façon exponentielle, la signature caractéristique du chaos, où de minuscules différences dans x₀ finissent par produire des résultats complètement différents.

Le diagramme de bifurcation est construit en itérant l'application de nombreuses fois pour chaque valeur de r, en écartant un transitoire initial, puis en traçant uniquement les valeurs dans lesquelles elle se stabilise ensuite. Comme le comportement à long terme de l'application logistique (point fixe, cycle ou attracteur chaotique) dépend de r plutôt que du point de départ, changer x₀ ne modifie que le chemin transitoire initial — les itérations de « chauffe » jetées — et non le motif final que la population atteint.

À mesure que r augmente, le comportement stable de l'application logistique se scinde en deux de manière répétée : un point fixe unique devient une oscillation entre deux valeurs, cette oscillation se scinde en quatre valeurs, puis huit, puis seize, chaque doublement se produisant sur des intervalles de r toujours plus courts. Cette cascade de doublements de période s'accumule à une valeur finie r≈3,57, au-delà de laquelle la période devient effectivement infinie et le système entre dans le chaos, entrecoupé de fenêtres étroites où un comportement périodique réapparaît brièvement.

La constante de Feigenbaum δ≈4,6692 est le rapport limite des intervalles de r entre doublements de période successifs : chaque doublement se produit environ 4,6692 fois plus près du précédent que l'intervalle qui le précède. Mitchell Feigenbaum a découvert en 1975 que ce nombre exact apparaît dans toute application unidimensionnelle avec un seul maximum quadratique, pas seulement l'application logistique, et des expériences ultérieures l'ont confirmé dans la convection des fluides, les circuits électroniques et les systèmes laser, une universalité aujourd'hui expliquée par la théorie du groupe de renormalisation de Feigenbaum.