🌐 Disque de Poincaré (géométrie hyperbolique)

🌐 Ce que cela démontre

Le modèle du disque de Poincaré représente l'ensemble du plan hyperbolique infini à l'intérieur d'un disque unité euclidien fini. Dans ce modèle, les « droites » hyperboliques (appelées géodésiques) sont représentées soit comme des diamètres du disque, soit comme des arcs de cercles qui rencontrent le cercle frontière à exactement 90° (perpendiculairement à celui-ci). Étant donné deux points à l'intérieur du disque, la géodésique unique passant par eux est trouvée en construisant le cercle passant par les deux points qui croise le cercle unité à angle droit — ce simulateur calcule ce cercle directement à l'aide de la formule standard de géométrie par inversion, puis trace l'arc exact, plutôt que de l'approximer par une ligne droite.

Ce modèle donne une image concrète de l'échec du postulat des parallèles d'Euclide : étant donné une géodésique et un point qui ne lui appartient pas, il existe une infinité de géodésiques distinctes passant par ce point qui ne rencontrent jamais la première (« parallèles » au sens où elles ne se croisent jamais) — et non pas une seule parallèle unique comme le garantit la géométrie euclidienne. Les triangles hyperboliques construits à partir de trois arêtes géodésiques ont également des sommes d'angles strictement inférieures à 180°, le montant « manquant » (le défaut angulaire) grandissant avec la taille du triangle, contrairement aux triangles euclidiens où la somme des angles est toujours exactement 180° quelle que soit la taille.

Mode d'emploi

• Cliquez à l'intérieur du disque pour placer jusqu'à 6 points ; faites glisser les points existants pour les repositionner. Le simulateur les relie dans l'ordre par de véritables arcs géodésiques hyperboliques, formant un polygone hyperbolique.
• Activez Afficher les droites euclidiennes pour superposer des segments de droite ordinaires entre les mêmes points, à des fins de comparaison avec les géodésiques courbes.
• Activez Afficher la superposition de pavage hyperbolique pour voir un motif de pavage {7,3} (ordre 3 heptagonal) ou {5,4} (ordre 4 pentagonal) obtenu par réflexions récursives, à titre de contexte visuel — un rendu approximatif mais géométriquement plausible d'une véritable tessellation hyperbolique, clairement pas un pavage exact par transformations de Möbius bord à bord.
• Observez le panneau Statistiques pour la somme des angles du polygone, comparée à l'attente euclidienne fixe pour un polygone ayant ce nombre de côtés.

Le saviez-vous ?

Le modèle du disque de Poincaré a été popularisé par Henri Poincaré dans les années 1880, mais la géométrie hyperbolique sous-jacente remonte aux travaux indépendants des années 1820-1830 de János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski, qui ont montré qu'il existe une géométrie parfaitement cohérente dans laquelle le cinquième postulat d'Euclide ne tient tout simplement pas. L'artiste néerlandais M. C. Escher a utilisé le modèle du disque de Poincaré (qui lui fut présenté par le mathématicien H. S. M. Coxeter) comme base de sa célèbre série de gravures sur bois « Circle Limit », pavant le disque de motifs répétés et rétrécissants de poissons et d'anges/démons qui représentent tous des formes congruentes dans le véritable espace hyperbolique, malgré leur apparence de plus en plus petite vers le bord du disque.

À propos de cette simulation

Ce simulateur met en œuvre le modèle du disque de Poincaré de la géométrie hyperbolique. Pour deux points quelconques placés à l'intérieur du disque unité, il calcule la véritable géodésique — l'arc de cercle perpendiculaire au cercle frontière (ou le diamètre, dans le cas dégénéré) — les reliant, à l'aide de la construction standard de la géométrie inversive, et indique la somme des angles du polygone hyperbolique résultant, toujours inférieure à la valeur euclidienne pour le même nombre de côtés.

Questions fréquentes