🕸️ Percolation — Amas & Seuil Critique

Elle implémente la percolation de site sur un réseau carré 2D. Chacune des cellules de la grille N×N est ouverte indépendamment avec une probabilité p (plutôt que la percolation de lien, où ce sont les arêtes plutôt que les cellules qui sont ouvertes aléatoirement), et la connectivité entre cellules voisines ouvertes est suivie avec une structure Union-Find.

Le curseur p est par défaut à 0,593 car c'est le seuil critique p_c établi numériquement à ≈ 0,5927 pour la percolation de site sur un réseau carré 2D infini. En dessous de p_c, les amas restent finis à mesure que la grille grandit ; à partir de p_c et au-dessus, un amas percolant géant reliant le haut au bas apparaît avec une probabilité approchant 1.

La simulation ajoute deux nœuds virtuels à la structure Union-Find : chaque cellule ouverte de la rangée supérieure est réunie à un nœud virtuel « supérieur », et chaque cellule ouverte de la rangée inférieure est réunie à un nœud virtuel « inférieur ». Après avoir construit toutes les connexions de la grille, elle vérifie simplement si les nœuds virtuels supérieur et inférieur partagent la même racine — si c'est le cas, un amas percolant existe, et il est mis en évidence en rouge.

Union-Find (ensembles disjoints) avec réduction de chemin de moitié et union par rang exécute chaque opération de recherche/union en temps amorti presque constant, ce qui s'adapte bien mieux que des recherches répétées par flood-fill lorsque les amas doivent être fusionnés de façon incrémentale au fur et à mesure que la grille est construite. Cela rend pratique la reconstruction instantanée de grandes grilles N×N chaque fois que N ou p change.

Exactement à p = p_c, l'amas percolant est un fractal de dimension de Hausdorff D = 91/48 ≈ 1,896 — sa « masse » évolue comme rayon^D plutôt que rayon^2. La distribution de la taille des amas suit une loi de puissance n(s) ~ s^(-τ) avec τ = 187/91 ≈ 2,055, visible comme une droite sur un histogramme log-log. Les deux exposants sont universels pour tous les types de réseaux 2D.