🌿 Arbre de Pythagore

L'angle des branches définit la forme du triangle rectangle à chaque division, ce qui contrôle la largeur ou l'étroitesse des deux carrés enfants. Un angle symétrique de 45° donne un arbre équilibré, tandis que d'autres angles produisent des canopées penchées ou asymétriques.

Chaque niveau double le nombre de branches, donc la croissance est exponentielle : la profondeur 10 produit 1 024 carrés-feuilles. C'est pourquoi une récursion plus profonde remplit rapidement la canopée et pourquoi les grandes profondeurs impliquent de dessiner des milliers de segments.

Une fractale est une forme qui répète le même motif à chaque échelle, de sorte qu'un zoom révèle des copies plus petites de l'ensemble. L'arbre de Pythagore en est un exemple classique car la même règle carré-triangle est appliquée récursivement sans fin.

L'inclinaison ajoute un décalage aux angles de branchement, penchant l'ensemble de l'arbre vers la gauche ou la droite. Elle brise la symétrie gauche-droite et donne à la canopée un aspect plus balayé par le vent ou naturellement irrégulier.

Oui. Comme chaque paire de carrés enfants a la même aire combinée que son parent, l'aire totale de tous les carrés à un niveau donné est égale à l'aire du carré tronc d'origine — une conséquence directe du théorème de Pythagore.

Une ramification récursive comme l'arbre de Pythagore apparaît dans les canopées d'arbres réels, les voies respiratoires des poumons, les réseaux de vaisseaux sanguins et les affluents des systèmes fluviaux, qui remplissent tous efficacement l'espace grâce à des règles autosimilaires.

Il a été dessiné pour la première fois en 1942 par l'enseignant néerlandais de mathématiques Albert Bosman à l'aide d'un simple jeu de dessin technique. Avec un angle symétrique de 45°, la figure entière tient parfaitement dans un rectangle de 6×4, quelle que soit la profondeur de récursion.