🔵 Cercles de Ford & Suite de Farey

Un cercle de Ford est un cercle associé à une fraction réduite p/q qui est tangent à la droite numérique au point x=p/q. Son centre se situe en (p/q, 1/(2q²)) et son rayon vaut aussi 1/(2q²), donc les petits dénominateurs produisent de grands cercles et les grands dénominateurs produisent des cercles qui se blottissent toujours plus près de la droite.

La suite de Farey F_n est la liste de chaque fraction réduite p/q avec 0≤p/q≤1 et un dénominateur q pas plus grand que n, classée par ordre croissant. À mesure que n augmente, de nouvelles fractions s'insèrent entre les existantes, et F_n contient exactement 1+φ(1)+φ(2)+…+φ(n) termes, où φ est la fonction indicatrice d'Euler.

Deux cercles de Ford pour les fractions a/b et c/d sont soit tangents l'un à l'autre, soit complètement disjoints — ils ne peuvent jamais se croiser. Le carré de la distance entre leurs centres est égal au carré de la somme de leurs rayons exactement quand |bc−ad|=1, et est strictement supérieur autrement, donc les cercles peuvent se toucher en exactement un point mais ne jamais se croiser en deux.

La médiante de deux fractions a/b et c/d est (a+c)/(b+d). Pour deux fractions voisines quelconques d'une suite de Farey, la médiante est la fraction nouvelle la plus simple qui se situe strictement entre elles, et c'est exactement la fraction qui apparaît une fois que l'ordre de Farey n devient assez grand pour inclure le dénominateur b+d. Ce processus d'insertion par médiante est la façon dont toute la suite de Farey — et toute la famille des cercles de Ford — peut être construite étape par étape.

L'arbre de Stern-Brocot est construit par le même processus de médiante que la suite de Farey, et la position de chaque nombre rationnel dans cet arbre correspond exactement à son développement en fraction continue. Suivre la chaîne des cercles de Ford menant à une fraction retrace son développement en fraction continue chiffre par chiffre, et la vitesse à laquelle les cercles rétrécissent en chemin reflète à quel point cette fraction peut être approchée par des rationnels plus simples — la base de la théorie de l'approximation diophantienne.