📍 Théorème du point fixe de Brouwer

L'analogie classique consiste à remuer une tasse de café : si vous remuez continûment (une application continue) selon n'importe quel motif et que le café reste dans la tasse (l'application envoie la région compacte convexe sur elle-même), alors au moins une molécule de café se retrouve exactement au même endroit après le mélange qu'avant — c'est un point fixe. L'analogie est parlante mais légèrement imprécise : les molécules de café réelles subissent une diffusion thermique et la tasse est tridimensionnelle, mais l'argument topologique s'applique dans n'importe quelle dimension.

Oui — le théorème de Brouwer est valable pour toute application continue d'un sous-ensemble compact convexe de ℝⁿ sur lui-même, pour toute dimension n. En 3D il s'applique aux boules pleines ; en dimension n à la n-boule. Il existe aussi une généralisation appelée théorème du point fixe de Kakutani (1941) pour les fonctions à valeurs ensemblistes (multivoques), qui fut utilisée par John Nash dans sa preuve de l'existence des équilibres de Nash en théorie des jeux, lui valant le prix Nobel commémoratif d'économie en 1994.

La preuve de John Nash en 1950, selon laquelle tout jeu fini possède un équilibre de Nash en stratégies mixtes, s'appuie sur le théorème du point fixe de Kakutani, une extension multivoque du théorème de Brouwer. La « correspondance de meilleure réponse » — qui associe à chaque profil de stratégies l'ensemble des meilleures réponses — satisfait les conditions de Kakutani, elle doit donc avoir un point fixe, et ce point fixe est un équilibre de Nash. Ce fondement mathématique a transformé l'économie et a été appliqué à la conception d'enchères, à la biologie évolutive et à la théorie du commerce international.

La preuve originale utilisait la topologie algébrique (plus précisément l'inexistence d'une rétraction continue du disque vers son cercle frontière — équivalente au fait que le groupe fondamental du cercle est non trivial). En 1978, Hirsch a donné une preuve élémentaire fondée sur le calcul différentiel pour les fonctions lisses, utilisant le théorème des valeurs intermédiaires en dimensions supérieures. Les preuves combinatoires via le lemme de Sperner (un argument de triangulation colorée) sont également entièrement élémentaires et souvent enseignées comme première introduction à la théorie topologique du point fixe.

Le lemme de Sperner énonce que toute coloration « propre » à 3 couleurs d'un triangle triangulé (où les sommets du bord sont colorés selon des règles précises) doit contenir au moins un petit triangle « arc-en-ciel » portant les trois couleurs. Ce fait purement combinatoire implique le théorème de Brouwer en 2D : en prenant des triangulations de plus en plus fines et en appliquant le lemme de Sperner, on construit une suite de points quasi fixes qui converge vers un véritable point fixe. La preuve ne requiert que la compacité et le théorème des valeurs intermédiaires, ce qui la rend accessible aux étudiants de premier cycle.

Si f n'est pas continue, le théorème peut échouer. Un exemple simple : la fonction qui envoie chaque point du disque, sauf le centre, sur lui-même, et envoie le centre vers un autre point, est discontinue seulement au centre mais n'a pas de point fixe dans certaines constructions. Plus radicalement, le disque percé d'un trou n'est pas compact (ou pas simplement connexe), et une rotation de l'anneau n'a pas de point fixe. La continuité est cruciale car elle empêche l'application de « sauter par-dessus » le point fixe.

Le théorème du point fixe de Banach (1922) est un résultat plus fort et constructif, qui s'applique aux applications contractantes sur des espaces métriques complets : si f est une contraction (c'est-à-dire |f(x)−f(y)| ≤ k|x−y| pour un certain k < 1), alors f possède un unique point fixe, et itérer f à partir de n'importe quel point de départ converge géométriquement vers celui-ci. Contrairement au théorème de Brouwer, celui de Banach fournit le point fixe explicitement par itération et garantit l'unicité. C'est le fondement mathématique de la méthode de Newton, de la compression d'images fractales et du théorème d'existence de Picard pour les équations différentielles ordinaires.