🔩 Dislocations Cristallines — Défauts Coin, Vecteur de Burgers & Hall-Petch

La contrainte de Peierls (ou Peierls-Nabarro) est la contrainte de cisaillement minimale nécessaire pour déplacer une dislocation à travers un réseau par ailleurs parfait à température nulle. Dans ce modèle, elle est estimée à environ 1,2 % du module de cisaillement μ. La dislocation ne commence à glisser que lorsque le τ appliqué dépasse cette valeur ; en dessous, le cœur reste ancré.

Le curseur définit la contrainte de cisaillement appliquée τ de 0 à 200 MPa. Si τ est inférieur à la contrainte de Peierls, la dislocation reste ancrée et l'étiquette indique « Ancrée ». Au-delà, le cœur glisse le long du plan de glissement, et la vitesse de glissement varie à la fois avec le contrôle de vitesse d'animation et le rapport τ/τ_Peierls, de sorte qu'une contrainte plus élevée entraîne un mouvement plus rapide.

La relation de Hall-Petch stipule que la limite d'élasticité augmente à mesure que les grains deviennent plus petits : σ_y = σ₀ + k/√d, où d est le diamètre moyen des grains. Les joints de grains font obstacle au mouvement des dislocations, donc plus de joints par unité de volume signifie un matériau plus résistant. La vue graphique trace cette courbe pour l'acier doux, le cuivre et l'aluminium, chacun avec son propre σ₀ et k.

Le champ de contraintes utilise la solution classique de Volterra pour une dislocation coin dans un milieu élastique isotrope : σ_xx = −Dy(3x²+y²)/r⁴, σ_yy = Dy(x²−y²)/r⁴ et τ_xy = Dx(x²−y²)/r⁴, avec D = μb / 2π(1−ν). La carte thermique montre la combinaison de von Mises, bleue au-dessus du plan de glissement pour la tension et rouge en dessous pour la compression.

Le champ de contraintes utilise la solution linéaire-élastique exacte de Volterra et des constantes réalistes (b ≈ 0,25 nm, ν = 0,30, modules de cisaillement des matériaux), et les courbes de Hall-Petch utilisent des valeurs de la littérature pour σ₀ et k. C'est un modèle pédagogique bidimensionnel clair, qui néglige donc l'anisotropie, les interactions entre dislocations, les composantes vis, la température et la singularité au cœur, laquelle est bridée numériquement.

Le curseur de taille de grain qualifie la structure de nanocristalline en dessous de 5 μm, à grains fins jusqu'à 50 μm, moyenne jusqu'à 150 μm et grossière au-delà. En vous déplaçant vers un d plus petit, le marqueur de Hall-Petch monte sur la courbe vers une limite d'élasticité plus élevée, illustrant pourquoi l'affinage des grains est une stratégie clé de renforcement en métallurgie.

Contrôler le mouvement des dislocations est à la base de presque tout renforcement des métaux : l'écrouissage, l'affinage des grains, l'alliage et le durcissement par précipitation fonctionnent tous en entravant le glissement des dislocations. La relation de Hall-Petch guide le traitement des aciers structurels, des tôles automobiles et des alliages nanocristallins, où des grains plus fins offrent une résistance supérieure sans changer la composition.