🌀 Épicycles de Fourier

Le phénomène de Gibbs est le dépassement qui apparaît lorsqu'une série de Fourier approxime un signal présentant une discontinuité de saut (comme une onde carrée). Près de la discontinuité, la somme partielle dépasse la valeur réelle d'environ 9 % de la hauteur du saut, quel que soit le nombre de termes inclus — le dépassement ne disparaît pas, il se rapproche simplement de la discontinuité. Ceci est visible dans l'animation des épicycles comme un « bourdonnement » aux coins vifs. Il peut être réduit en utilisant des fonctions de fenêtrage (facteur sigma de Lanczos) ou la sommation de Fejér au lieu de sommes partielles.

Oui, avec des modifications. Pour un chemin non périodique, vous pouvez soit traiter un segment fini comme une période (introduisant une discontinuité de saut aux extrémités, causant un bourdonnement de Gibbs), soit utiliser la transformée en cosinus discrète (DCT) au lieu de la DFT — la DCT reflète implicitement le chemin pour créer une extension périodique sans saut. Alternativement, le chemin peut être paramétré pour se fermer (par exemple, en ajoutant un trait de retour), le rendant véritablement périodique. La norme de compression d'image JPEG utilise des blocs DCT de 8×8 pixels exactement pour cette raison.

La série de Fourier réelle exprime une fonction comme Σ (aₙ cos(nωt) + bₙ sin(nωt)), utilisant des paires de termes sinus et cosinus pour chaque fréquence. La série de Fourier complexe utilise des exponentielles complexes Σ cₙ e^(inωt) pour n = −∞ à ∞, où c₋ₙ = cₙ* (conjugué complexe) pour les signaux réels. La forme complexe est plus compacte et se rapporte directement aux épicycles : n positif donne des cercles antihoraires, n négatif donne des cercles horaires. La plupart des dérivations en traitement du signal utilisent la forme complexe pour la commodité algébrique.

Le simulateur trie les épicycles par leur rayon |cₙ| par ordre décroissant — le plus grand en premier. C'est l'ordre le plus informatif visuellement, car les plus grands cercles (composantes de plus basse amplitude, de fréquence la plus grossière) définissent la forme globale tandis que les cercles plus petits et plus rapides ajoutent des détails fins. Mathématiquement, n'importe quel ordre produit le même chemin final ; le choix affecte seulement la progression visuelle de l'animation et les positions intermédiaires de la pointe de la chaîne.

Ne conserver que les harmoniques impaires (n = 1, 3, 5, 7, …) correspond à la série de Fourier d'un signal à symétrie impaire — un où f(t + T/2) = −f(t). Visuellement, le chemin résultant présente une symétrie de rotation de 180°: la seconde moitié du dessin est la première moitié tournée d'un demi-tour. Les ondes carrées, triangulaires et en dents de scie (sous leur forme à symétrie de demi-onde) consistent entièrement en harmoniques impaires, ce qui explique pourquoi leurs chaînes d'épicycles montrent cette élégante symétrie double.

Oui — c'est devenu une visualisation mathématique populaire depuis que la vidéo de 3Blue1Brown de 2019 l'a popularisée. Le chemin d'une lettre manuscrite ou d'un contour de portrait est échantillonné, sa DFT calculée, et les épicycles résultants s'animent pour tracer la forme. Un contour de portrait typique échantillonné à 1 000 points nécessite environ 200–300 épicycles significatifs pour être convaincant. La technique est essentiellement la même que la compression de chemin SVG : ne conserver que les composantes de fréquence dominantes élimine les détails fins et imperceptibles.