🐉 Courbe du Dragon

La courbe du dragon (ou dragon de Heighway) est une fractale auto-similaire tracée en pliant à répétition une bande de papier en deux, puis en dépliant chaque pli à angle droit. Elle peut aussi être générée uniquement à partir d'une séquence de virages à gauche et à droite, sans aucun papier, et elle appartient à la même famille de courbes que la courbe C de Lévy et d'autres fractales de pliage de papier.

Elle est construite par doublement : à partir de la séquence vide, chaque nouvelle itération est formée en prenant la séquence précédente, en y ajoutant un D, puis en y ajoutant l'inverse de la séquence précédente avec chaque G et D échangés. Cette récurrence, seq(n) = seq(n-1) + D + inverse(complément(seq(n-1))), produit une chaîne de longueur 2^n - 1 décrivant chaque virage le long du chemin.

Même si la courbe se replie de nombreuses fois sur elle-même, on peut démontrer que le dragon de Heighway ne s'auto-intersecte jamais. Les segments adjacents ne se rencontrent toujours qu'en leur point d'extrémité partagé, ce qui explique pourquoi le contour paraît déchiqueté et remplissant l'espace, tandis que le chemin lui-même reste une courbe simple, sans croisement.

La courbe du dragon a une dimension fractale (de Hausdorff) exactement égale à 2, bien qu'il s'agisse d'une courbe unidimensionnelle plongée dans le plan. Cela reflète à quel point le chemin se replie étroitement sur lui-même : à des itérations élevées, il s'approche d'un pavage complet du plan, ce qui explique aussi pourquoi des copies de la courbe du dragon peuvent paver le plan exactement.

Chaque itération supplémentaire double le nombre de segments, donc le nombre de morceaux de droite à dessiner croît comme 2^n. À n = 17, cela représente 131 072 segments, l'animation nécessite donc naturellement plus d'images de tracé aux itérations élevées, même si chaque segment individuel est calculé instantanément.