🚘 Régulateur de vitesse : contrôleur PI & emballement intégral

Un contrôleur PI associe un terme proportionnel Kp·e (correction immédiate, proportionnelle à l'écart entre la vitesse actuelle et la cible) à un terme intégral Ki·∫e·dt (qui élimine la petite erreur en régime permanent que laisserait un contrôleur proportionnel seul, par exemple sur une pente constante légère). Le régulateur de vitesse automobile réel est presque toujours PI plutôt que PID : un terme dérivé réagissant au taux de variation de la vitesse amplifierait le bruit du capteur de vitesse et les irrégularités de la route en un accélérateur saccadé et inconfortable, si bien que la norme du secteur échange un peu de rapidité de réponse contre un déplacement en douceur.

Lorsque la pente de la route exige plus de force moteur que le moteur ne peut physiquement en fournir, la force commandée u = Kp·e + Ki·∫e·dt est plafonnée à la force maximale réelle, mais le terme intégral sous-jacent ∫e·dt continue lui-même d'accumuler une erreur positive à chaque cycle, croissant bien au-delà de ce que le système peut jamais utiliser, si rien ne l'arrête. C'est l'emballement intégral : l'intégrateur « s'emballe » vers une valeur importante pendant que l'actionneur reste saturé et incapable d'y répondre.

Cette simulation met en œuvre la technique standard d'anti-emballement par écrêtage (intégration conditionnelle) : avant de mettre à jour l'intégrale à chaque cycle, elle vérifie si la force commandée provisoire pousserait davantage vers la saturation dans la même direction que l'erreur actuelle. Si c'est le cas, la mise à jour de l'intégrale est gelée pour ce cycle ; sinon elle se poursuit normalement. Le résultat est que l'intégrale ne s'accumule que lorsque cela peut encore produire une force utile et livrable — exactement la technique standard enseignée dans tout cours pratique de systèmes de contrôle, et c'est un interrupteur que vous pouvez basculer en cours d'exécution pour comparer avec un PI naïf (qui intègre toujours) sur la même physique.

La voiture obéit à une véritable équation de mouvement longitudinal : masse × accélération = force du moteur − traînée aérodynamique − résistance au roulement − composante gravitationnelle de la pente. La traînée aérodynamique croît avec le carré de la vitesse (F = ½·ρ·Cd·A·v²), la résistance au roulement est une petite force constante proportionnelle au poids de la voiture, et la force de pente est m·g·sin(θ) où θ est l'angle d'inclinaison de la route — tous des termes réels de la dynamique des véhicules, pas un modèle simplifié où « la vitesse se cale sur la cible ».

Chaque moteur réel a une force de traction maximale qu'il peut délivrer à un rapport et un régime donnés — il y a un plafond physique strict sur la force vers l'avant que la transmission peut produire, peu importe la taille de la commande calculée par le contrôleur. Cette simulation applique cette même limite réelle : le contrôleur peut demander plus de force que le moteur ne peut en donner, mais la force réellement appliquée à la voiture est plafonnée à ce maximum, ce qui est exactement la saturation d'actionneur qui provoque l'emballement dans les systèmes réels.

Pendant la montée, le moteur est bloqué à sa force maximale et — sans anti-emballement — le terme intégral continue de croître bien au-delà de la valeur réellement nécessaire. Dès que la pente s'aplanit, la force requise pour maintenir la vitesse cible chute fortement, mais le contrôleur commande toujours une force proche du maximum à cause de l'intégrale gonflée, si bien que la voiture accélère fort et dépasse la cible avant que l'intégrale (et l'erreur, désormais négative) ne se résorbe vers une valeur raisonnable. Avec l'anti-emballement activé, l'intégrale n'a jamais dépassé ce que le moteur saturé pouvait utiliser, donc il y a peu d'excès à résorber et peu ou pas de dépassement.