〰️ Oscillateurs couplés — Modes normaux et battements

Ressort k₁ et k₂ définissent la raideur des ressorts reliant chaque masse à son mur (0,1 à 5). Couplage κ définit la force du ressort entre les masses (0,01 à 3). Masse m₁ et m₂ définissent les deux masses (0,2 à 5), et l'amortissement γ contrôle la perte d'énergie (0 à 0,15).

Le battement se produit lorsqu'une seule masse démarre déplacée, excitant les deux modes à la fois. Comme leurs fréquences diffèrent légèrement, elles se déphasent puis se rephasent, si bien que l'amplitude de chaque masse enfle puis s'atténue. L'énergie passe entièrement d'une masse à l'autre puis revient sur une période de battement.

La période de battement vaut 2π divisé par la différence entre les deux fréquences des modes, ω₊ moins ω₋. Lorsque le couplage κ est faible, les deux fréquences sont proches, la différence est petite et la période de battement s'allonge ; un couplage fort la raccourcit.

Les équations du mouvement sont intégrées fidèlement avec une méthode symplectique qui conserve bien l'énergie sur de longues durées. Les fréquences de mode affichées utilisent une formule simplifiée à masses égales, donc avec des masses ou des ressorts fortement inégaux, les valeurs de ω indiquées sont approximatives tandis que le mouvement sous-jacent reste correct.

L'amortissement γ ajoute une force proportionnelle à la vitesse de chaque masse, drainant l'énergie cinétique du système. Avec un amortissement supérieur à zéro, les oscillations diminuent progressivement et l'énergie totale affichée tend vers zéro. Réglez-le à zéro pour observer un mouvement idéal, non amorti, et un battement net.

Les atomes d'une molécule se comportent comme des masses sur des ressorts, et leurs vibrations collectives sont des modes normaux. Le mode d'élongation antisymétrique du dioxyde de carbone porte un dipôle oscillant qui absorbe la lumière infrarouge, ce qui explique précisément pourquoi le CO₂ est un gaz à effet de serre.

Ils apparaissent dans toute la physique et l'ingénierie : les phonons dans les réseaux cristallins, les pendules couplés, la synchronisation des métronomes, les vibrations des ponts et des bâtiments, et les circuits LC résonants. Les analogues quantiques incluent les oscillations de neutrinos, où le mélange des états de masse reflète le battement observé ici.

Avec l'amortissement γ réglé à zéro, le système est conservatif, si bien que l'énergie cinétique plus l'énergie potentielle élastique est préservée. L'intégrateur symplectique utilisé ici est conçu pour maintenir ce total presque constant sur de longues simulations, ce qui explique pourquoi l'énergie affichée dérive à peine même après de nombreuses oscillations.