⛓️ Chaînette

Le paramètre a est égal à T₀/(wg), où T₀ est la composante horizontale constante de la tension, w est la densité linéique de masse de la chaîne, et g est l'accélération gravitationnelle. Dans la simulation, la valeur de a est résolue numériquement : étant donné la portée horizontale et la longueur totale du câble L, l'équation 2a·sinh(D/2a) = L est résolue itérativement par une méthode de Newton, où D est la distance horizontale entre les ancrages. Une fois a trouvé, l'affaissement, la longueur d'arc et la tension en chaque point découlent directement des fonctions hyperboliques cosh et sinh.

Les lignes de transmission électrique entre pylônes pendent en chaînettes, et les ingénieurs autorisent délibérément un affaissement contrôlé pour réduire la charge de tension sur les pylônes. Les câbles principaux des ponts suspendus à longue portée approximent des chaînettes avant que le tablier ne soit fixé ; une fois le tablier ajouté, la charge répartie du tablier déplace la forme vers une parabole. Les chaînettes inversées forment des arcs de compression structurellement efficaces : la célèbre Gateway Arch de Saint-Louis est une chaînette pondérée, et Robert Hooke a utilisé un modèle de chaîne inversée pour concevoir le dôme de la cathédrale Saint-Paul de Londres.

Oui. Galilée croyait que la chaîne suspendue formait une parabole et l'a affirmé dans ses Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles de 1638. Il avait tort, et Joachim Jungius montra plus tard par des moyens géométriques que ce ne pouvait pas être une parabole. L'équation correcte fut dérivée en 1691 indépendamment par Christiaan Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz et Johann Bernoulli, en réponse à un défi posé par Jakob Bernoulli. Ce fut l'une des premières applications du calcul infinitésimal nouvellement développé par Leibniz.

Le mot « catenary » (chaînette) fut inventé par Christiaan Huygens dans une lettre de 1690, du latin catena (chaîne). La courbe elle-même fut d'abord correctement décrite mathématiquement en 1691 lorsque Huygens, Leibniz et Johann Bernoulli publièrent chacun indépendamment des solutions au défi posé par Jakob Bernoulli. Leibniz introduisit la représentation en cosinus hyperbolique qui reste la norme aujourd'hui. Robert Hooke avait auparavant noté, dans un anagramme de 1675, qu'une chaînette inversée donne un arc de compression parfait, anticipant cette idée structurelle de 16 ans.

La tension T en tout point de la chaînette est T(x) = wg·a·cosh(x/a), minimale au point le plus bas (où T = wg·a, la tension purement horizontale) et augmentant symétriquement vers les ancrages. La composante horizontale de la tension est constante partout le long de la chaîne, tandis que la composante verticale est égale à wg fois la longueur d'arc depuis le point le plus bas. Dans la simulation, les vecteurs de tension jaunes sont proportionnels à cosh(x/a) et sont tangents à la courbe, montrant à la fois l'amplitude et la direction en même temps.

Lorsqu'une chaînette est tournée autour de son axe de symétrie, elle engendre un caténoïde, la surface minimale reliant deux anneaux parallèles. Un film de savon tendu entre deux anneaux de fil circulaires coaxiaux adopte spontanément la forme du caténoïde car cela minimise sa surface totale, un résultat issu du calcul des variations. Le caténoïde fut la première surface minimale découverte au-delà du plan, identifiée par Leonhard Euler en 1744. En ingénierie, des formes semblables au caténoïde apparaissent dans les structures de toiture en coque mince et dans la géométrie des nanotubes.

Dans les systèmes d'électrification ferroviaire, le fil de contact aérien est délibérément tendu en chaînette (le système est littéralement appelé « fil caténaire ») pour maintenir un contact uniforme avec le pantographe à grande vitesse. Les ingénieurs en structures utilisent des profils de chaînette inversée pour les arcs en maçonnerie et les toitures en coque car on obtient une compression pure sans moment de flexion, maximisant la résistance par unité de matériau. En aérospatiale, des réseaux de câbles basés sur la chaînette sont utilisés dans les réflecteurs d'antenne déployables et les structures spatiales légères. Les architectes computationnels utilisent des maillages en chaînette comme outils de recherche de forme pour des coques complexes de forme libre.

La théorie classique de la chaînette est entièrement résolue, mais plusieurs domaines de recherche actifs s'appuient dessus. Les chaînettes élastiques, où le câble peut s'étirer et sa longueur change avec la tension, sont étudiées pour les lignes d'ancrage des plateformes offshore et pour les ballons captifs de haute altitude, nécessitant des équations couplées d'élasticité et de géométrie. Les chaînettes en rotation (chaînes tournoyantes) introduisent des termes centrifuges qui produisent des bifurcations et une dynamique chaotique sous certaines conditions. En robotique souple et structures transformables, des conceptions d'actionneurs basées sur la chaînette sont explorées pour obtenir des changements de forme programmables, tandis qu'en nanophysique l'équilibre des rubans de graphène suspendus suit une équation de chaînette modifiée incluant des termes d'adhésion de van der Waals.