🛒 Moteur de recommandation — Filtrage collaboratif en direct

La matrice de notes est délibérément creuse — chaque utilisateur n'a noté qu'une poignée du catalogue, donc la grande majorité des entrées sont simplement inconnues, pas nulles. Entraîner le modèle à prédire 0 ou une valeur moyenne pour chaque entrée non observée lui enseignerait activement une erreur (que les produits non notés sont détestés). Au lieu de cela, la perte à erreur quadratique ne fait la somme que sur les paires (utilisateur, produit) qui ont réellement une note en étoiles : L = Σ(observées) (r_ui − r̂_ui)². Les gradients ne circulent qu'à travers les cellules avec un retour réel, et les vecteurs latents des paires non notées sont amenés vers des positions sensées uniquement en partageant des lignes et des colonnes avec des cellules observées.

L'objectif d'entraînement ajoute λ(‖u‖² + ‖p‖²) à la perte à erreur quadratique, pénalisant les vecteurs latents de grande magnitude. Sans cela, un utilisateur ou un produit avec très peu de notes observées peut dériver vers un vecteur extrême qui s'ajuste presque parfaitement à ces une ou deux données mais prédit de façon erratique pour tout le reste — du surapprentissage classique sur des données creuses. La régularisation ramène les vecteurs vers zéro à moins que les données ne fournissent des preuves répétées solides pour les pousser plus loin — sacrifiant un peu de précision d'entraînement pour une bien meilleure généralisation aux produits non notés dont dépendent réellement les recommandations.

Lorsque vous notez un produit pour l'utilisateur sélectionné, ce seul triplet (utilisateur, produit, note) est ajouté à l'ensemble observé et l'optimiseur exécute un nouveau lot de passes SGD concentrées sur les données mises à jour. Comme les vecteurs utilisateur et produit sont des paramètres partagés, quelques pas de gradient supplémentaires suffisent à faire dériver la position latente de l'utilisateur vers des produits aux facteurs similaires — vous pouvez voir le point bouger sur le nuage de points et la liste des top-N prédictions se réorganiser en une seconde, sans réentraînement complet.

Si chaque entrée de la matrice de notes était observée, la décomposition en valeurs singulières (SVD) pourrait calculer les facteurs optimaux de rang réduit directement sous forme fermée. Mais les matrices de notes réelles sont extrêmement creuses — un utilisateur n'a noté qu'une infime fraction du catalogue — donc la SVD classique n'est pas définie pour les entrées manquantes. La descente de gradient stochastique contourne cela proprement : elle ne touche que les cellules observées, s'adapte à des millions de notes car chaque mise à jour est en O(K) par note, et prend naturellement en charge les mises à jour incrémentales à l'arrivée de nouvelles notes, ce qui est exactement ce sur quoi repose le réentraînement en direct dans cette simulation.

Les notes synthétiques de cette simulation sont générées à partir de facteurs latents de vérité terrain plus du bruit aléatoire, donc même un modèle parfait ne peut pas prédire exactement les étoiles bruitées à chaque fois — il existe un plancher d'erreur irréductible fixé par la variance du bruit. La régularisation sacrifie aussi délibérément un peu de précision sur l'ensemble d'entraînement pour la généralisation, empêchant encore davantage la RMSE d'atteindre zéro. En pratique, c'est sain : un modèle qui ramène la RMSE sur l'ensemble observé à zéro avec seulement deux dimensions latentes et une poignée de notes par utilisateur est presque certainement en train de mémoriser du bruit plutôt que d'apprendre des goûts.