🔄 Retrato de Fase

Un retrato de fase es una imagen del espacio de estados de un sistema dinámico que muestra cómo evoluciona con el tiempo cada punto de partida posible. En esta simulación, cada punto del plano tiene un vector de velocidad (dx/dt, dy/dt) determinado por las ecuaciones del sistema elegido, y las líneas de flujo son una representación de tipo Line-Integral-Convolution de ese campo vectorial — ruido difuminado a lo largo de la dirección local del flujo — de modo que puedes ver el patrón general de movimiento de un vistazo en lugar de seguir una trayectoria a la vez.

Para el sistema lineal con matriz [[a, b], [-b, a]], la traza es T = 2a y el determinante es D = a² + b². Si D < 0 el origen es una silla (inestable en una dirección, estable en otra); si D > 0 y T² < 4D es una espiral, estable cuando T < 0 e inestable cuando T > 0; si D > 0 y T² > 4D es un nodo; y si T = 0 con D > 0 es un centro, rodeado de órbitas cerradas. El panel de lectura calcula esta clasificación en vivo a medida que mueves los deslizadores.

Un oscilador lineal amortiguado estándar siempre converge en espiral hacia un único punto de equilibrio y permanece allí. La ecuación de van der Pol ẋ = y, ẏ = μ(1−x²)y − x tiene un amortiguamiento que cambia de signo según la amplitud: energiza las oscilaciones pequeñas y amortigua las grandes, de modo que las trayectorias tanto desde dentro como desde fuera convergen hacia la misma órbita cerrada, llamada ciclo límite. Esta amplitud de oscilación autocorregida es la razón por la que el modelo de van der Pol se usa para describir latidos del corazón, circuitos de válvulas de vacío y otros osciladores autosostenidos.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra ẋ = a·x − x·y, ẏ = x·y − b·y modelan un par depredador-presa: las presas (x) crecen exponencialmente a una tasa a en ausencia de depredadores, y los depredadores (y) mueren a una tasa b sin presas que comer. Las órbitas cerradas que rodean el punto de coexistencia (b, a) significan que las poblaciones oscilan periódicamente en lugar de estabilizarse en un valor fijo — un aumento de presas alimenta un aumento de depredadores, que luego agota a las presas, lo que hace morir de hambre a los depredadores, y el ciclo se repite, sin converger nunca al equilibrio.

El sistema de Duffing ẋ = y, ẏ = −b·y + x − x³ describe el movimiento en un potencial de doble pozo, físicamente como una bola que puede asentarse en cualquiera de dos hondonadas separadas por una joroba. El término cúbico −x³ crea dos equilibrios estables simétricos en x = ±1 (cada uno una espiral cuando el amortiguamiento b > 0) y una silla inestable en el origen que separa sus cuencas de atracción, de modo que en qué espiral termina una trayectoria depende sensiblemente de su posición inicial respecto a la silla.