🌀 Epiciclos de Fourier

El fenómeno de Gibbs es el sobreimpulso que aparece cuando una serie de Fourier aproxima una señal con una discontinuidad de salto (como una onda cuadrada). Cerca de la discontinuidad, la suma parcial sobrepasa el valor real en aproximadamente un 9% de la altura del salto, sin importar cuántos términos se incluyan — el sobreimpulso no desaparece, solo se acerca más a la discontinuidad. Esto es visible en la animación de epiciclos como un "repique" en las esquinas afiladas. Puede reducirse usando funciones de ventana (factor sigma de Lanczos) o sumación de Fejér en lugar de sumas parciales.

Sí, con modificaciones. Para una trayectoria no periódica se puede tratar un segmento finito como un periodo (introduciendo una discontinuidad de salto en los extremos, causando repique de Gibbs), o usar la Transformada Discreta del Coseno (DCT) en lugar de la DFT — la DCT refleja implícitamente la trayectoria para crear una extensión periódica sin salto. Alternativamente, la trayectoria puede parametrizarse para cerrarla (por ejemplo, añadiendo un trazo de retorno), haciéndola genuinamente periódica. El estándar de compresión de imágenes JPEG usa bloques DCT de 8×8 píxeles precisamente por esta razón.

La serie de Fourier real expresa una función como Σ (aₙ cos(nωt) + bₙ sin(nωt)), usando pares de términos seno y coseno para cada frecuencia. La serie de Fourier compleja usa exponenciales complejas Σ cₙ e^(inωt) para n = −∞ a ∞, donde c₋ₙ = cₙ* (conjugado complejo) para señales reales. La forma compleja es más compacta y se mapea directamente a epiciclos: n positivo da círculos antihorarios, n negativo da círculos horarios. La mayoría de las derivaciones de procesamiento de señales usan la forma compleja por conveniencia algebraica.

El simulador ordena los epiciclos por su radio |cₙ| en orden decreciente — el más grande primero. Este es el orden más informativo visualmente, ya que los círculos más grandes (componentes de menor amplitud y frecuencia más gruesa) establecen la forma general, mientras que los círculos más pequeños y rápidos añaden detalle fino. Matemáticamente, cualquier orden produce la misma trayectoria final; la elección solo afecta la progresión visual de la animación y las posiciones intermedias de la punta de la cadena.

Conservar solo los armónicos impares (n = 1, 3, 5, 7, …) corresponde a la serie de Fourier de una señal de simetría impar — una donde f(t + T/2) = −f(t). Visualmente, la trayectoria resultante tiene simetría rotacional de 180°: la segunda mitad del dibujo es la primera mitad girada media vuelta. Las ondas cuadradas, triangulares y diente de sierra (en su forma de simetría de media onda) consisten enteramente en armónicos impares, razón por la cual sus cadenas de epiciclos muestran esta elegante simetría doble.

Sí — esto ha sido una visualización matemática popular desde que el video de 2019 de 3Blue1Brown la popularizó. Se muestrea la trayectoria de una letra escrita a mano o el contorno de un retrato, se calcula su DFT, y los epiciclos resultantes se animan para trazar la forma. Un contorno de retrato típico muestreado en 1000 puntos necesita aproximadamente 200–300 epiciclos significativos para verse convincente. La técnica es esencialmente la misma que la compresión de rutas SVG: conservar solo los componentes de frecuencia dominantes descarta el detalle fino e imperceptible.