🎯 Curvas de Bézier

Para la continuidad C¹ (derivadas primeras coincidentes), el último punto de control del segmento k, el primer punto de control del segmento k+1, y el extremo compartido deben ser colineales, con las distancias al extremo iguales. Esto asegura que la dirección y la magnitud de la tangente sean idénticas a través de la unión. Para la continuidad G¹ (dirección tangente coincidente pero no necesariamente la magnitud) solo se requiere colinealidad — una condición más débil pero visualmente suave usada en el diseño de tipografías.

Los polinomios de Bernstein B(i,n,t) = C(n,i)⋅tᶦ⋅(1−t)ⁿ⁻ᶦ forman una base para los polinomios de grado n en [0,1]. Son no negativos, suman 1, y cada uno alcanza un máximo único en t = i/n. Como la curva es un promedio ponderado de los puntos de control (pesos = polinomios de Bernstein), la curva siempre se encuentra dentro de la envolvente convexa del polígono de control — una propiedad geométrica clave que hace que las curvas de Bézier sean fáciles de recortar e intersecar.

Las fuentes TrueType usan curvas cuadráticas de Bézier (3 puntos de control por segmento) almacenadas como datos numéricos compactos para definir los contornos de los glifos. Las fuentes OpenType pueden usar segmentos de Bézier cuadráticos (como en TrueType) o cúbicos (como en PostScript Type 1). En el momento de mostrarse, el rasterizador evalúa las curvas en la resolución adecuada y rellena el interior — por eso las fuentes escalables se ven nítidas en cualquier tamaño. Un solo carácter ASCII puede estar compuesto por 10-30 segmentos de Bézier.

La envolvente convexa de un conjunto de puntos es la región convexa más pequeña que los contiene a todos — piensa en ella como la forma que se obtiene al estirar una goma elástica alrededor de los puntos. Como las curvas de Bézier son combinaciones convexas de sus puntos de control (los pesos de Bernstein son no negativos y suman 1), la curva siempre permanece dentro de la envolvente convexa de su polígono de control. Esta propiedad se usa en la detección de colisiones y en algoritmos de intersección rayo-curva: si un rayo no toca la envolvente convexa, no puede tocar la curva.

CSS y SVG usan curvas cúbicas de Bézier para definir funciones de suavizado de animación, especificadas como cubic-bezier(x₁, y₁, x₂, y₂) donde los dos puntos de control (con los extremos fijos en (0,0) y (1,1)) determinan la rapidez con que cambia el valor animado a lo largo del tiempo. La conocida función "ease-in-out" es aproximadamente cubic-bezier(0.42, 0, 0.58, 1). La curva mapea el tiempo normalizado (t) al progreso normalizado, de modo que una sección empinada significa un cambio rápido mientras que una sección plana significa un cambio lento.

No — las curvas de Bézier racionales (NURBS con pesos no unitarios) pueden representar exactamente secciones cónicas incluyendo círculos, pero las curvas de Bézier polinómicas no pueden. Sin embargo, un solo cuadrante de un círculo puede aproximarse con mucha precisión mediante una curva cúbica de Bézier con puntos de control en (R, kR) y (kR, R) donde k ≈ 0,5523. El error máximo de esta aproximación es de aproximadamente 0,00027R, lo que la hace imperceptible para resoluciones de pantalla típicas.

La elevación de grado es el proceso de representar la misma curva geométrica con un punto de control más (y un grado más), sin cambiar la forma de la curva. Un segmento lineal puede elevarse a cuadrático, luego a cúbico, etc. Esto es útil en algoritmos que requieren que todas las curvas tengan el mismo grado — por ejemplo, al fusionar curvas de diferentes fuentes. Los nuevos puntos de control se calculan como promedios ponderados de los originales, y el proceso siempre es exacto (sin aproximación involucrada).