🔵 Círculos de Ford y Secuencia de Farey

Un círculo de Ford es un círculo asociado a una fracción reducida p/q que es tangente a la recta numérica en el punto x=p/q. Su centro se sitúa en (p/q, 1/(2q²)) y su radio también es 1/(2q²), de modo que los denominadores pequeños producen círculos grandes y los denominadores grandes producen círculos que se pegan cada vez más a la recta.

La secuencia de Farey F_n es la lista de cada fracción reducida p/q con 0≤p/q≤1 y denominador q no mayor que n, ordenada de forma creciente. A medida que n crece, nuevas fracciones se intercalan entre las existentes, y F_n contiene exactamente 1+φ(1)+φ(2)+…+φ(n) términos, donde φ es la función totiente de Euler.

Dos círculos de Ford para las fracciones a/b y c/d son tangentes entre sí o completamente disjuntos — nunca pueden cruzarse. La distancia al cuadrado entre sus centros es igual a la suma al cuadrado de sus radios exactamente cuando |bc−ad|=1, y es estrictamente mayor en caso contrario, así que los círculos pueden tocarse en exactamente un punto pero nunca intersecarse en dos.

La mediante de dos fracciones a/b y c/d es (a+c)/(b+d). Para cualesquiera dos fracciones vecinas en una secuencia de Farey, la mediante es la fracción nueva más simple que se sitúa estrictamente entre ellas, y es exactamente la fracción que aparece una vez que el orden de Farey n crece lo suficiente para incluir el denominador b+d. Este proceso de inserción de mediantes es cómo se puede construir paso a paso toda la secuencia de Farey — y toda la familia de círculos de Ford.

El árbol de Stern-Brocot se construye mediante el mismo proceso de mediante que la secuencia de Farey, y la posición de cada número racional en ese árbol corresponde exactamente a su expansión en fracción continua. Seguir la cadena de círculos de Ford que conducen a una fracción traza su fracción continua dígito por dígito, y la velocidad a la que se encogen los círculos en el camino refleja qué tan bien se puede aproximar esa fracción mediante racionales más simples — la base de la teoría de aproximación diofántica.