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Кыргызча〰️ Recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam
Simula el modelo β de FPU: una cadena de 32 osciladores no lineales. La energía comienza en el modo 1, se propaga a modos superiores, y luego regresa — la famosa paradoja de recurrencia FPU. Observa el espectro de energía modal evolucionar en tiempo real.
Qué Demuestra
En 1955, Enrico Fermi, John Pasta, Stanislaw Ulam (y la programadora Mary Tsingou) realizaron una de las primeras simulaciones por computadora en física. Esperaban que una cadena de osciladores débilmente no lineales alcanzara gradualmente el equilibrio térmico — la energía propagándose por igual entre todos los modos normales. En cambio, tras visitar unos pocos modos superiores, la energía regresó casi por completo al primer modo: la recurrencia FPU. Esto violó la suposición predominante de que la no linealidad débil por sí sola es suficiente para la termalización.
Cómo Usar
Fija β (no linealidad) en cero para obtener una cadena perfectamente lineal — el modo 1 conserva toda su energía para siempre. Aumenta β para ver la energía derramarse en los modos 2, 3, 4… y luego recurrir. Sube la energía inicial E₀ para una no linealidad más fuerte y recurrencias más rápidas (pero menos exactas). Rastrea más modos para ver el espectro completo. La línea discontinua amarilla marca el nivel de equipartición — la altura que alcanzaría cada barra en una termalización verdadera. Haz clic en Modo 2 para empezar con el modo 2 excitado en su lugar.
¿Sabías Que…?
La paradoja FPU se resolvió en la década de 1960 con el descubrimiento de los solitones: ondas no lineales localizadas que se atraviesan entre sí sin desintegrarse. En la cadena FPU, la energía se concentra en estructuras casi de solitón que la devuelven periódicamente al modo inicial. Con suficiente energía el sistema eventualmente sí se termaliza — pero en escalas de tiempo mucho más largas de lo esperado originalmente. El problema impulsó todo el campo de la dinámica no lineal y los sistemas integrables.
Acerca de la Recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam
Esta simulación integra el modelo β de FPU: una cadena de N=32 partículas conectadas por resortes que tienen fuerzas de restitución tanto lineales como cúbicas (β). Las ecuaciones de movimiento son ẍⅰ = (xᵢ₋₁ − xᵢ)(1 + β(xᵢ₋₁ − xᵢ)²) + (xᵢ₋₁ − xᵢ)(1 + β(xᵢ₋₁ − xᵢ)²), integradas con un esquema de Runge-Kutta de 4º orden para mayor precisión. La energía se carga inicialmente en un único modo normal desplazando las partículas según su patrón de autofunción sinusoidal. Las energías modales se calculan mediante una transformada de seno de los desplazamientos de las partículas.
Tres visualizaciones se actualizan simultáneamente: la cadena de partículas muestra los desplazamientos reales coloreados por velocidad; el espectro de barras muestra cómo se distribuye la energía entre los primeros N modos (línea discontinua amarilla = nivel de equipartición); y las trazas de historial temporal muestran la energía de cada modo durante las últimas 300 muestras de tiempo. Cuando β = 0, solo el modo 1 tiene energía y permanece allí. Con β > 0 la energía se filtra a los modos 2, 3, 4… y luego regresa — la recurrencia. La recurrencia se detecta cuando el modo 1 lleva >70% de la energía total.
Preguntas Frecuentes
¿Qué es la recurrencia de Fermi-Pasta-Ulam?
Es el sorprendente fenómeno en el que la energía inyectada en el modo normal más bajo de una cadena de osciladores no lineales se propaga a modos superiores pero luego regresa casi por completo al primer modo, en lugar de distribuirse uniformemente (termalizarse) como predice la mecánica estadística.
¿Qué controla el parámetro β?
β fija la fuerza de la no linealidad cúbica en la fuerza del resorte. Con β=0 la cadena es perfectamente lineal y la energía nunca abandona el modo 1. A medida que β aumenta, el acoplamiento entre modos crece, la energía se propaga más rápido, las recurrencias se vuelven menos exactas, y con β muy alto el sistema puede eventualmente termalizarse en escalas de tiempo largas.
¿Qué es la energía modal y cómo se calcula?
Un modo normal es un patrón de oscilación colectivo de toda la cadena. Su energía se calcula proyectando los desplazamientos y velocidades de las partículas sobre la autofunción sinusoidal del modo mediante una transformada de seno discreta, y luego evaluando la energía cinética más potencial en esa coordenada modal.
¿Por qué el resultado de FPU sorprendió a los físicos?
La mecánica estadística clásica y el teorema de equipartición predicen que los sistemas débilmente acoplados deberían alcanzar el equilibrio térmico, con la energía compartida por igual entre todos los grados de libertad. Fermi esperaba que esto ocurriera rápidamente. En cambio, la energía seguía regresando al primer modo, sugiriendo que la no linealidad débil no garantiza la termalización en escalas de tiempo accesibles.
¿Qué es la línea discontinua amarilla en el espectro?
Marca el nivel de energía de equipartición — la altura que alcanzaría cada barra si la energía total se distribuyera por igual entre todos los modos rastreados. La termalización real llevaría todas las barras a esta línea. La recurrencia FPU mantiene la barra 1 periódicamente mucho más alta que el nivel de equipartición.
¿Cómo se relacionaron los solitones con la paradoja FPU?
En 1965, Zabusky y Kruskal demostraron que el límite continuo de la cadena FPU es la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV), que admite soluciones de solitón. Estas formas de onda localizadas viajan sin dispersión y se atraviesan entre sí elásticamente. En la cadena discreta, las estructuras casi de solitón transportan energía sin compartirla, explicando la recurrencia.
¿Qué sucede a muy alta energía o β grande?
Con una no linealidad fuerte, el sistema eventualmente escapa del régimen casi integrable de solitones. Las recurrencias se vuelven incompletas e irregulares, y con tiempos de simulación muy largos el sistema sí se acerca a la equipartición — la verdadera termalización. La energía de cruce se llama umbral FPU o umbral de estocasticidad.
¿Es la simulación numéricamente precisa?
Se usa RK4 (Runge-Kutta de cuarto orden) con un paso de tiempo pequeño, conservando la energía hamiltoniana total con alta precisión. Puedes verificarlo observando la lectura de energía total — debería permanecer casi constante durante toda la simulación.
¿Por qué N=32 partículas?
El cálculo original de FPU de 1955 usó N=32 o N=64. Con 32 partículas interiores el periodo de recurrencia es lo bastante corto como para ser visible en tiempo real, y la estructura modal es fácil de mostrar. Con menos partículas hay menos modos y el espectro es más burdo; con más partículas el cálculo se ralentiza.
¿Qué es el modelo β de FPU frente al modelo α?
El modelo α añade un término no lineal cuadrático (αΔx²) a la fuerza del resorte; el modelo β usado aquí añade un término cúbico (βΔx³). El modelo β es más simple de analizar porque preserva la simetría de reflexión x → −x de la cadena. Ambos modelos muestran el fenómeno de recurrencia, pero con distintos periodos de recurrencia y patrones de acoplamiento entre modos.
¿Cómo se relaciona esto con la física y matemáticas modernas?
El problema FPU dio origen al estudio de los sistemas integrables, el caos hamiltoniano y la física computacional como disciplina. Influyó en el teorema KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) sobre la persistencia de órbitas cuasi-periódicas, y se conectó con estudios de breathers discretos, olas gigantes y dinámica no lineal en redes, aún activos hoy.
Una cadena de osciladores no lineales que muestra la energía regresando al modo 1 — la paradoja de recurrencia FPU.
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