🌿 Dinámica de Poblaciones — Crecimiento Logístico y Depredador-Presa

El crecimiento logístico modela una población que no puede crecer indefinidamente porque los recursos son limitados. La ecuación dN/dt = r·N·(1−N/K) se comporta al principio como crecimiento exponencial cuando N es mucho menor que K, luego se ralentiza a medida que N se acerca a K y se detiene por completo cuando N es igual a K. K es la capacidad de carga: el tamaño máximo de población que el entorno puede sostener, mostrado en la simulación como una línea verde discontinua a la que la curva N(t) se aproxima pero nunca cruza.

El modo Depredador-Presa sustituye la única ecuación logística por el par de Lotka-Volterra: dN/dt = r·N − β·N·P para la presa y dP/dt = δ·N·P − γ·P para el depredador. En lugar de estabilizarse en una capacidad de carga, N y P suben y bajan en un ciclo repetitivo, el número de presas crece hasta que los depredadores se multiplican lo suficiente como para hacerlo descender, luego los depredadores disminuyen cuando la presa escasea, permitiendo que la presa se recupere y el ciclo se repita, visible como un bucle cerrado en el retrato de fase en lugar de una línea plana.

Beta es la tasa de depredación: la rapidez con la que los depredadores eliminan presas de la población al interactuar ambas. Delta es la eficiencia de conversión: cuán eficazmente cada presa comida se convierte en nuevos depredadores. Gamma es la tasa de mortalidad del depredador en ausencia de alimento. Juntos, estos tres parámetros fijan tanto el tamaño de la oscilación como la ubicación del punto de equilibrio, que la simulación calcula como N* = gamma/delta y P* = r/beta y marca con un punto amarillo en el retrato de fase.

Solo conejos fija beta, delta y gamma en cero, de modo que los depredadores no tienen efecto, dejando un crecimiento logístico puro hacia K = 300. Lince-Liebre y Equilibrio estable usan ambos el sistema completo de Lotka-Volterra pero con distintas constantes de tasa, produciendo ciclos de diferente amplitud y periodo. Casi extinción usa una tasa de depredación alta (beta = 0.05) y una conversión baja (delta = 0.001), lo que puede llevar a la población de presas a números muy bajos antes de recuperarse, ilustrando cuán sensibles son las poblaciones acopladas a sus parámetros.

El sistema de Lotka-Volterra es un oscilador conservativo: no tiene un término de amortiguación incorporado, así que una vez iniciado lejos del punto de equilibrio N* = gamma/delta, P* = r/beta, las poblaciones de presa y depredador orbitan alrededor de ese punto indefinidamente en lugar de converger hacia él. Cada bucle completo en el retrato de fase corresponde a un ciclo completo de auge y caída en el tiempo; los bucles más grandes significan oscilaciones mayores entre la escasez y la abundancia para ambas especies.