📉 Caos Poblacional — Mapa Logístico y Diagrama de Bifurcación

El mapa logístico es la recurrencia x_n+1 = r·x_n·(1−x_n), donde x es una fracción de población entre 0 y 1 y r es la tasa de crecimiento. Para r bajo (por debajo de aproximadamente 3.0) la población se estabiliza en un único valor estable; a medida que r aumenta por encima de 3.0 el mapa comienza a duplicar el periodo en ciclos de 2, 4, 8 y más puntos, y más allá de r≈3.57 típicamente se vuelve caótico, saltando de forma impredecible entre valores aunque la regla que los genera sea completamente determinista.

La simulación calcula λ = (1/N)·Σ ln|r(1−2x_n)| promediando el logaritmo de la magnitud de la pendiente local del mapa a lo largo de muchas iteraciones. Un λ negativo significa que los puntos de partida cercanos convergen entre sí con el tiempo, indicando un comportamiento estable o periódico; λ = 0 marca un punto de bifurcación donde el comportamiento periódico está a punto de dividirse; y un λ positivo significa que las trayectorias cercanas divergen exponencialmente, la firma definitoria del caos, donde pequeñas diferencias en x₀ acaban produciendo resultados completamente distintos.

El diagrama de bifurcación se construye iterando el mapa muchas veces para cada valor de r y descartando un transitorio inicial, luego graficando solo los valores en los que se estabiliza después. Como el comportamiento a largo plazo del mapa logístico (punto fijo, ciclo o atractor caótico) depende de r y no de dónde empezaste, cambiar x₀ solo altera el camino transitorio temprano — las iteraciones de «calentamiento» que se descartan — no el patrón final que alcanza la población.

A medida que r aumenta, el comportamiento estable del mapa logístico se divide repetidamente en dos: un único punto fijo se convierte en una oscilación entre dos valores, esa oscilación se divide en cuatro valores, luego ocho, luego dieciséis, con cada duplicación ocurriendo en intervalos de r cada vez más pequeños. Esta cascada de duplicaciones de periodo se acumula en un valor finito r≈3.57, más allá del cual el periodo se vuelve efectivamente infinito y el sistema entra en caos, intercalado con estrechas ventanas donde el comportamiento periódico reaparece brevemente.

La constante de Feigenbaum δ≈4.6692 es la razón límite de los intervalos de r entre duplicaciones de periodo sucesivas: cada duplicación ocurre aproximadamente 4.6692 veces más cerca de la anterior que el intervalo previo. Mitchell Feigenbaum descubrió en 1975 que este número exacto aparece en todo mapa unidimensional con un único máximo cuadrático, no solo en el mapa logístico, y experimentos posteriores lo confirmaron en la convección de fluidos, circuitos electrónicos y sistemas láser, una universalidad ahora explicada por la teoría de grupo de renormalización de Feigenbaum.