🌊 Ondas Caóticas — Cadenas de Osciladores No Lineales

En cada fotograma de la animación, el simulador proyecta las posiciones y velocidades actuales sobre los N modos normales de la cadena lineal mediante una transformada discreta de senos (qₖ = Σᵢ xᵢ·sin(kπi/(N+1)), y de forma similar para los momentos), y luego calcula la energía armónica de cada modo Eₖ = ½pₖ² + ½ωₖ²qₖ² con la relación de dispersión ωₖ = 2sin(kπ/2(N+1)). Estas energías por modo se acumulan en un total continuo para cada uno de los primeros 24 modos y se muestran como barras, resaltando el modo k excitado inicialmente — este es exactamente el diagnóstico que Fermi, Pasta, Ulam y Tsingou usaron en su informe original de 1955.

Verlet de velocidad es un integrador simpléctico: preserva aproximadamente la estructura hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento, de modo que la energía total oscila en torno a un valor constante en lugar de desviarse con el tiempo en simulaciones largas. Para un sistema caótico o casi integrable como la cadena FPUT, un método no simpléctico (por ejemplo, Euler simple) perdería o ganaría energía artificialmente y podría generar termalización o recurrencia falsas. El indicador de Energía Total de este simulador debería permanecer esencialmente constante con el tiempo — eso es una comprobación directa de la calidad del integrador.

Con α=β=0, todos los modelos se reducen a la cadena puramente armónica, cuya solución exacta es una suma de modos normales independientes que nunca intercambian energía. Excitar el modo k deja el espectro de energía de los modos mostrando toda la energía permanentemente alojada en la barra k, con todas las demás barras en cero — no hay pulsaciones, ni recurrencia, ni caos, porque los modos normales lineales simplemente no interactúan. Esta es la base de referencia contra la que se diseñó el experimento FPUT.

El teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser (KAM) describe cómo, al añadir una pequeña perturbación no lineal a un sistema hamiltoniano integrable (como la cadena lineal o la red de Toda integrable), la mayoría de los toros invariantes cuasiperiódicos sobreviven en lugar de disolverse inmediatamente en el caos. Por eso las cadenas α- y β-FPUT muestran una casi-recurrencia duradera con no linealidad débil a moderada en lugar de termalizarse al instante: el sistema permanece cerca de uno integrable. Solo cuando el control deslizante de no linealidad se eleva lo suficiente, suficientes resonancias se solapan para destruir los toros supervivientes y producir un reparto de energía genuinamente caótico entre los modos.

Un N mayor ofrece una resolución espacial y espectral más fina y permite números de modo más altos, pero también aumenta el número de tripletes/cuartetos de modos casi resonantes que los términos no lineales pueden acoplar, lo que en general facilita la termalización para una no linealidad dada. Excitar un modo bajo (k pequeño, longitud de onda larga) tiende a mostrar la recurrencia FPUT más limpia, ya que sus vecinos más cercanos en el espectro de modos están bien separados en frecuencia; excitar un modo alto (k cercano a N) acerca el sistema al borde de la zona de Brillouin, donde la relación de dispersión se aplana y los modos vecinos entran en resonancia con más facilidad.

El color de cada bolita codifica su energía cinética instantánea, ½mvᵢ², escalada respecto a la bolita más «caliente» de la cadena en ese momento (azul → baja energía cinética, rojo → alta energía cinética). Observar el patrón de colores es un indicador visual rápido de la misma cuestión de reparto de energía que el espectro de modos responde numéricamente: en el régimen de casi-recurrencia el «punto caliente» se desplaza de un lado a otro en un patrón bastante organizado ligado a la longitud de onda del modo excitado, mientras que en el régimen caótico/termalizado las bolitas calientes y frías se vuelven espacialmente desordenadas y aproximadamente uniformes en promedio temporal.

Sí, estructuralmente: una cadena unidimensional de masas sobre resortes no lineales idénticos con extremos fijos (empotrados), iniciada con una única excitación sinusoidal de un modo normal y evolucionada en el tiempo mediante un ordenador — exactamente la configuración del informe de Los Álamos de 1955 (originalmente con N=32 o 64 masas y un pequeño término α o β). Este simulador además te permite sustituirlo por el potencial de Toda, exactamente integrable, que se introdujo más tarde (1967) específicamente para explicar, mediante la teoría de solitones, por qué la cadena FPUT original se negaba a termalizarse.