📊 Teorema del Límite Central

La varianza poblacional σ² describe cuán ampliamente se dispersan las observaciones individuales alrededor de la media poblacional. El error estándar σ/√n describe cuán ampliamente se dispersan las medias muestrales — es mucho menor porque promediar n valores "cancela" parte de la variabilidad individual. Confundir ambos es un error estadístico común: las empresas de encuestas citan el error estándar de su encuesta, no la dispersión de las opiniones individuales.

Sí. Las distribuciones con varianza infinita (como la distribución de Cauchy, o distribuciones de ley de potencia de cola pesada con exponente ≤ 2) no satisfacen las condiciones del TLC. Para variables distribuidas según Cauchy, sin importar cuántas promedies, la media muestral tiene la misma distribución de Cauchy — nunca converge a la normal. Los rendimientos financieros durante caídas del mercado a veces presentan colas tan pesadas, por lo que los modelos de riesgo con distribución normal pueden subestimar catastróficamente las pérdidas extremas.

La mayoría de las mediciones físicas son el resultado de muchos errores aditivos pequeños e independientes — imprecisión del instrumento, fluctuaciones ambientales, redondeo, etc. Según el TLC, la suma de muchos errores independientes pequeños converge a una distribución normal sin importar sus formas individuales. Por eso los modelos de error gaussiano (normal) son tan omnipresentes en la ciencia experimental.

La regla general de que un tamaño de muestra de 30 es suficiente para que se aplique el TLC proviene de la experiencia empírica con distribuciones unimodales moderadamente sesgadas. Para una fuente perfectamente simétrica (como Uniforme), n ≥ 5 ya da un histograma de medias casi normal. Para distribuciones muy sesgadas (como Exponencial), puede que necesites n ≥ 100. En este simulador puedes verificarlo directamente comparando la calidad del ajuste normal en distintos valores de n.

El TLC justifica el uso de pruebas z y pruebas t incluso cuando la población subyacente no es normal. Por ejemplo, al comparar el nivel medio de colesterol de dos grupos, el TLC garantiza que la distribución muestral de la diferencia de medias es aproximadamente normal para muestras suficientemente grandes, por lo que una prueba z es válida. Esto hace del TLC el fundamento invisible de la mayor parte de la inferencia estadística clásica.

Las estaturas humanas, las puntuaciones de exámenes, los errores de medición y muchos rasgos biológicos siguen distribuciones aproximadamente normales porque resultan de los efectos aditivos de muchos factores genéticos y ambientales independientes. Según el TLC, la suma de muchas contribuciones pequeñas e independientes — sea cual sea su distribución individual — tiende a la normalidad. Francis Galton llamó a esto la "ley suprema de la sinrazón" cuando la descubrió en la década de 1870.

El simulador calcula la desviación estándar teórica de la distribución muestral como σ_teórica = σ/√n, y luego mide la desviación estándar empírica de las medias muestrales acumuladas. El porcentaje de "ajuste" es 100% × (1 − |σ_empírica − σ_teórica| / σ_teórica), limitado a un mínimo de 0%. Un valor cercano al 100% significa que el histograma sigue de cerca la predicción del TLC; valores bajos indican que necesitas más muestras o un n mayor.