⚡ Estructura de Bandas

El teorema de Bloch establece que los autoestados de un electrón en un potencial periódico tienen la forma ψᴷ(r) = e^(ik⋅r) uᴷ(r), donde uᴷ(r) tiene la misma periodicidad que la red. Estas son las ondas de Bloch: ondas planas moduladas por una función periódica de la red. El número cuántico k (el momento cristalino) es una magnitud conservada análoga al momento ordinario en el espacio libre, y el índice de banda n etiqueta la solución para un k dado.

Cerca de un mínimo de banda, la dispersión E(k) es aproximadamente parabólica: E ≈ E₀ + ħ²k²/(2m*), donde m* es la masa efectiva. Una masa efectiva pequeña significa que la banda está muy curvada (segunda derivada grande), y el electrón responde con fuerza a los campos eléctricos — se acelera rápidamente. El GaAs tiene m* ≈ 0,067mₑ, lo que lo hace muy sensible e ideal para transistores de alta frecuencia. Cerca de un máximo de banda, m* es negativa, dando lugar al concepto de huecos como cuasipartículas cargadas positivamente.

La densidad de estados g(E) es el número de estados electrónicos por intervalo de energía y por unidad de volumen. Para electrones libres en 3D varía como g(E) ∝ E^(1/2). La estructura de bandas modifica esto significativamente: cerca de los bordes de banda g(E) sigue la forma de electrón libre, pero cerca de los límites de zona las bandas se aplanan (d²E/dk² → 0), provocando picos agudos en g(E) llamados singularidades de van Hove. Estos picos son visibles en espectros de absorción de rayos X y mediciones de efecto túnel.

El dopaje introduce átomos de impureza que aportan electrones adicionales (tipo n, por ejemplo fósforo en silicio) o crean vacantes electrónicas/huecos (tipo p, por ejemplo boro en silicio). La estructura de bandas en sí apenas cambia, pero el nivel de Fermi se desplaza: hacia la banda de conducción en el dopaje tipo n, hacia la banda de valencia en el tipo p. A concentraciones de dopaje altas (>10ⁿ⁹ cm⁻³) el material se comporta metálicamente y el nivel de Fermi entra en la banda.

Un semiconductor de banda prohibida directa (como el GaAs) tiene su mínimo de banda de conducción y su máximo de banda de valencia en el mismo punto k, normalmente k = 0 (el punto Γ). Un semiconductor de banda indirecta (como el silicio o el germanio) los tiene en valores de k distintos. Las transiciones ópticas son mucho más probables en materiales de banda directa porque los fotones llevan un momento insignificante, por lo que no se necesita un fonón para conservar el momento cristalino. Por eso el GaAs sirve para LEDs y láseres eficientes mientras que el silicio no.

El modelo de enlace fuerte es el complemento del modelo de electrones casi libres: en lugar de partir de electrones libres y añadir un potencial de red débil, parte de orbitales atómicos fuertemente ligados y añade integrales de solapamiento débiles entre vecinos. La dispersión resultante para una cadena 1D con espaciado de red a e integral de salto t es E(k) = ϵ₀ − 2t⋅cos(ka), una banda coseno. El modelo de enlace fuerte es más preciso para los electrones d en metales de transición y para el grafeno, donde la dispersión lineal en el punto de Dirac surge de forma natural.

La técnica experimental principal es la espectroscopía de fotoemisión resuelta en ángulo (ARPES), que ilumina la superficie de un cristal con luz ultravioleta o de rayos X y mide la energía cinética y el ángulo de emisión de los electrones expulsados. A partir de la conservación de energía y momento, se reconstruyen tanto E como k de los electrones originales. ARPES puede mapear estructuras de bandas completas con resolución energética de meV y angular de miliradianes, y ha sido crucial para descubrir aislantes topológicos y superconductores no convencionales.