⭕ Junta de Apolonio — Empaquetamiento Fractal de Circulos

Cuando las primeras cuatro curvaturas son enteros, toda curvatura generada por la recursion tambien es un entero, demostrado directamente a partir del teorema de Descartes. El ejemplo clasico comienza con −1, 2, 2, 3 y produce circulos con curvaturas 6, 11, 14, 15, 18, 23, … Que enteros positivos aparecen es una pregunta de investigacion activa conectada con las formas cuadraticas y los grupos delgados en teoria de numeros.

La extension compleja del teorema de Descartes da el centro mediante k₄z₄ = k₁z₁ + k₂z₂ + k₃z₃ ± 2√(k₁k₂z₁z₂ + k₂k₃z₂z₃ + k₃k₁z₃z₁), donde z = x + iy codifica el centro de cada circulo. Esta elegante formula calcula tanto la posicion como las dos opciones de circulo tangente en un solo paso, descubierta por Philip Beecroft (1842) y mas tarde por Frederick Soddy (1936).

Apolonio (c. 262-190 a.C.) fue un matematico griego de Perga, en la actual Turquia, mas conocido por su tratado en ocho libros Conicas. Su obra perdida Sobre las Tangencias abordaba encontrar circulos tangentes a tres circulos dados — el Problema de Apolonio — que tiene hasta ocho soluciones. La junta que lleva su nombre se formalizo mucho despues usando la formula de curvatura de Descartes.

Si — y profunda. Los puntos de tangencia de una junta apoloniana forman el conjunto limite de un grupo Kleiniano — un grupo infinito de transformaciones de Mobius de la esfera de Riemann. La junta vive en la frontera del espacio hiperbolico tridimensional, y las simetrias del empaquetamiento son las isometrias de un tetraedro hiperbolico. Esto ha impulsado avances importantes en la teoria espectral y la teoria ergodica en variedades hiperbolicas.

La recursion es teoricamente infinita, pero los circulos por debajo de aproximadamente 1 pixel de radio en pantalla son imperceptibles. La simulacion se detiene cuando el radio en pantalla de un circulo cae por debajo del umbral de radio minimo. Reducir el umbral revela mas detalle fractal a costa de un computo mas largo; el control de profundidad anade un limite maximo independiente para evitar una recursion descontrolada.

El hexlet de Soddy (1936) es un analogo tridimensional: dadas dos esferas internamente tangentes a una tercera, exactamente seis esferas pueden ser simultaneamente tangentes a las tres y entre si, formando un anillo. Frederick Soddy descubrio esto y lo anuncio en un poema en Nature junto con el teorema de Descartes tridimensional para esferas — tanto el hexlet como la junta apoloniana son manifestaciones de la misma geometria inversiva.

Los empaquetamientos apolonianos tienen conexiones profundas con la Conjetura Local-Global: se conjetura (y se ha probado parcialmente por Bourgain, Kontorovich y otros) que todo entero suficientemente grande que satisface un conjunto finito de condiciones de congruencia efectivamente aparece como una curvatura. El grupo de empaquetamiento es un "grupo delgado" en el sentido de la teoria de numeros, lo que hace de esto una de las fronteras de investigacion mas activas en geometria aritmetica.

A cada circulo se le asigna una profundidad de generacion (0 para los circulos semilla, 1 para los primeros circulos nuevos, y asi sucesivamente). La funcion de paleta mapea la profundidad linealmente a un valor de tono o brillo, de modo que los circulos mas antiguos y grandes tienen un color y los mas nuevos y pequenos tienen otro. Esto hace que la estructura recursiva sea perceptible de inmediato — cada limite de color visible marca un paso mas profundo en la jerarquia infinita.