💨 Rauch-VFX — Stabile Fluide

Stable Fluids ist eine Methode von Jos Stam (1999) für uneingeschränkt stabile Echtzeit-Fluidsimulation. Sie verwendet implizite Zeitintegration für die Diffusion und einen semi-Lagrangeschen Advektionsschritt, der unabhängig von der Zeitschrittgröße niemals numerisch instabil wird.

Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Fluidbewegung: ∂u/∂t = -(u·∇)u + ν∇²u + f, mit ∇·u = 0 für Inkompressibilität. Die Terme stellen jeweils Advektion (Transport durch die Strömung), Diffusion (Viskosität) und äußere Kräfte dar.

Semi-Lagrangesche Advektion verfolgt jede Gitterzelle rückwärts in der Zeit entlang des Geschwindigkeitsfelds, um den Fluidursprung zu ermitteln, und interpoliert dann Dichte/Geschwindigkeit an diesem Punkt. Sie ist uneingeschränkt stabil, führt aber zu numerischer Diffusion, wodurch die Strömung mit der Zeit unscharf erscheint.

Der Projektionsschritt erzwingt Inkompressibilität (∇·u = 0), indem eine Poisson-Gleichung für den Druck gelöst und der Druckgradient von der Geschwindigkeit subtrahiert wird. Dies verhindert, dass sich Fluid ansammelt oder verschwindet, und erhält so die Gesamtmenge des Fluids.

Vortizitätsbegrenzung wirkt der numerischen Diffusion der semi-Lagrangeschen Advektion entgegen. Sie erkennt Bereiche hoher Vortizität (Rotation der Geschwindigkeit) und wendet Kräfte an, um die wirbelnde Bewegung zu konzentrieren, was turbulentere, realistischer aussehende Rauch- und Feuereffekte erzeugt.

Numerische Diffusion ist eine künstliche Glättung, die durch die Diskretisierung der Advektionsgleichungen entsteht. Semi-Lagrangesche Methoden mit bilinearer Interpolation neigen besonders dazu, was dazu führt, dass Rauch mit der Zeit ohne korrigierende Techniken wie Vortizitätsbegrenzung unscharf erscheint.

Die Rauchdichte ist ein passiver Skalar, der vom Geschwindigkeitsfeld transportiert wird. Der vollständige Zeitschritt: (1) Kräfte hinzufügen, (2) Geschwindigkeit diffundieren, (3) auf Divergenzfreiheit projizieren, (4) Geschwindigkeit advehieren, (5) erneut projizieren, (6) Dichte advehieren. Die Dichte wird mit einem Dissipationsfaktor multipliziert, um verblassenden Rauch zu simulieren.

Echtzeit-Stable-Fluids verwendet typischerweise 64×64- bis 256×256-Gitter für 60 fps in JavaScript. GPU-Implementierungen (WebGL) können 512×512 oder höher ausführen. Höhere Auflösung erfasst mehr turbulente Details, erfordert aber mehr Berechnung pro Frame.

Die Gauss-Seidel-Iteration löst die linearen Systeme, die bei impliziter Diffusion und Druckprojektion entstehen. Jede Zelle wird mit den neuesten Nachbarwerten in wiederholten Durchläufen aktualisiert, bis Konvergenz erreicht ist — typischerweise 4-20 Iterationen pro Frame für ein gutes Verhältnis von Qualität zu Geschwindigkeit.

Die Vortizität ω = ∇×u wird für jede Zelle berechnet. Der Gradient von |ω| gibt die Richtung zu den Wirbelzentren an. Die Begrenzungskraft f = ε(η×ω), wobei η = ∇|ω|/|∇|ω|| ist, drängt das Fluid dazu, sich um bestehende Wirbel zu drehen und den durch numerische Diffusion verlorenen Drall wiederherzustellen.